大学数学(高数微积分)第五章二次型第三节(课堂讲解).ppt

定理 5 (1) 任一复对称矩阵 A 都合同于一个 下述形式的对角矩阵： 其中对角线上 1 的个数 r 等于 A 的秩. (2) 任一实对称矩阵 A 都合同于一个下述形式 的对角矩阵： 其中对角线上 1 的个数 p 及 -1 的个数 r - p ( r 是 A 的秩)都是唯一确定的，分别称为 A 的正、负惯性 指数. 它们的差 2p - r 称为 A 的符号差. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 主要内容 引例 第 三 节 唯 一 性 复数域的情形 实数域的情形 一、引例 引例 二次型 2x1x2 + 2x1x3 -6x2x3 的标准形. 这个二次型是上一节中的例1，由此可知，二 次型 2x1x2 + 2x1x3 -6x2x3 经过线性替换 变成的标准形为 可以验证，该二次型经过线性替换 就得到另一个标准形 这就说明，在一般的数域内，二次型的标准形不是 唯一的，而与所作的非退化线性替换有关. 但有一 点是肯定的，即 在一个二次型的标准形中，系数 不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的 线性替换无关. 这是因为，经过非退化线性替换 四章第四节 合同的矩阵有相同的秩，这 就是说，经过非退化线性替换之后，二次型矩阵的 秩是不变的. 标准形的矩阵是对角矩阵，而对角矩 阵的秩就等于它对角线上不为零的元素的个数. 这 就证明了标准形中，系数不为零的平方项的个数是 唯一确定的. 于是，我们引入二次型秩的概念： 二次型的矩阵变成了一个与之合同的矩阵. 由第 定义5 称二次型矩阵的秩为二次型的秩. 在本节中，我们要讨论的问题是：在复数域 和实数域中，进一步研究唯一性的问题. 二、复数域的情形 设 f ( x1 , x2 , … , xn ) 是一个复系数的二次型. 由本章 经过一适当的非退化线性替换后 f ( x1 , x2 , … , xn ) 变成标准形. 不妨假设它的标准 形是 d1y12 + d2y22 + … + dryr2 , di ? 0, i = 1, 2, … , r , 其中 r 是 f ( x1 , x2 , … , xn ) 的矩阵的秩. 因为复数 总可以开平方，所以我们再作一非退化线性替换 d1y12 + d2y22 + … + dryr2 , di ? 0, i = 1, 2, … , r , 就变成 z12 + z22 + … + zr2 . 上式称为复二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) 的规范形. 显然规范形完全被原二次型矩阵的秩所决定，因此 有 定理 3 任意一个复系数的二次型，经过一 适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形 是唯一的. 定理 3 换个说法就是 定理 3? 任一复数的对称矩阵合同于一个形式 为 的对角矩阵. 从而有，两个复数对称矩阵合同的充 分必要条件是它们的秩相等. 三、实数域的情形 设 f ( x1 , x2 , … , xn ) 是一个实系数的二次型. 由本章 经过一适当的非退化线性替换， 再适当排列文字的次序，可使