大学数学(高数微积分)第八章λ矩阵第三节课件(课堂讲解).ppt

本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 主要内容 第三节 不变因子 行列式因子 标准形的唯一性 举例 不变因子 ? - 矩阵可逆的条件 一、行列式因子 在上一节，我们讨论了 ? - 矩阵的标准形，其 主要结论是：任何 ? - 矩阵都能化成标准形. 但是 矩阵的标准形是否唯一呢？ 答案是肯定的. 为了证 明唯一性，要引入矩阵的行列式因子的概念. 1. 定义 定义 5 设 ? - 矩阵 A(?) 的秩为 r ，对于正整 数 k，1? k ? r ， A(?) 中必有非零的 k 级子式. A(?) 中全部 k 级子式的首项系数为 1 的最大公因式 Dk(?) 称为 A(?) 的 k 级行列式因子. 由定义可知，对于秩为 r 的 ? - 矩阵，行列式 因子一共有 r 个. 行列式因子的意义就在于，它在 初等变换下是不变的. 2. 行列式因子的性质 定理 3 等价的 ? - 矩阵具有相同的秩与相同 的各级行列式因子. 证明 我们只要证明，? - 矩阵经过一次初等 行变换，秩与行列式因子是不变的. 设 ? - 矩阵 A(?) 经过一次初等行变换变成 B(?) , f(?) 与 g(?) 分别是 A(?) 与 B(?) 的 k 级行列式因子. 我们证明 f(?) = g(?) . 下面分三种情形讨论. 1) A(?) 经初等行变换 (1) 变成 B(?) . 这时 B(?) 的每个 k 级子式或者等于 A(?) 的某个 k 级子式, 者与 A(?) 的某一个 k 级子式反号, 因此 f(?) 是B(?) 的 k 级子式的公因式，从而 f(?) | g(?) . 2) A(?) 经初等行变换 (2) 变成 B(?) . 这时 B(?) 的每个 k 级子式或者等于 A(?) 的某个 k 级子式, 者等于 A(?) 的某一个 k 级子的 c 倍 , 因此 f (?) 是 B(?) 的 k 级子式的公因式，从而 f(?) | g(?) . 或 或 3) A(?) 经初等行变换 (3) 变成 B(?) . 这时 B(?) 中那些包含 i 行与 j 行的 k 级子式和那些不包含i 行 的 k 级子式都等于 A(?) 中对应的 k 级子式； B(?)中 那些包含 i 行但不包含 j 行的 k 级子式，按 i 行分 成两部分，而等于 A(?) 的一个 k 级子式与另一个 k 级子式的 ? ? (?) 倍的和，也就是 A(?) 的两个 k 级子式的组合. 因此 f (?) 是 B(?) 的 k 级子式的公 因式，从而 f(?) | g(?) . 对于列变换，可以完全一样地讨论. 总之，如 果 A(?) 经一次初等变换变成 B(?) ，那么 f(?) | g(?) . 但由于初等变换是可逆的， B(?) 也可以经一次初 等变换变成 A(?) . 由上面的讨论，同样应有 g(?) | f(?) . 于是 f(?) = g(?) . 当 A(?) 的全部 k 级子式为零时，B(?) 的全部 k 级子式也就为零； 反之亦然.