大学数学(高数微积分)第三章线性方程组第二节课件(课堂讲解).ppt

主要内容 问题的提出 n 维向量的定义 n 维向量的运算 第二节 n 维向量空间 n 维向量空间 线性方程组与向量组的关系 一、问题的提出 上一节我们介绍了消元法，对于具体地解线性 方程组，用消元法是一个最有效和最基本的方法. 但是，有时候需要直接从原方程组来看出它是否有 解，这样，消元法就不能用了. 同时，用消元法化 方程组成阶梯形，剩下来的方程的个数是否唯一决 定的呢，这个问题也是没有解决的. 这些问题就要 求我们对线性方程组还要作进一步的研究. 显然，一个线性方程组的解的情况是被方程组 中方程之间的关系所规定的. 譬如说，在方程组 中，第一个方程的 3 倍减去第二个方程就等于第三 个方程，这就是说，第三个方程可以去掉而不影响 方程组的解. 在那里用初等变换得到的阶梯形方程 组中只含有两个方程正是反映了这个情况. 可以认 为，初等变换是揭露方程之间的关系的一种方法. 因此，为了直接从原来的线性方程组来讨论解的情 况，我们有必要来研究方程之间的关系. 一个 n 元方程 可以用 n + 1 元有序数组 (a1, a2, … , an, b) 来代表，所谓方程之间的关系实际上就是代表它们 总之，n 维有序数组在实际中的应用例子有很 多，作为它们的一个共同抽象，就有下面的定义 的 n + 1 元有序数组之间的关系. 因此，我们先来 讨论多元有序数组. 二、n 维向量的定义 定义 3 所谓数域 P 上一个 n 维向量就是 由数域 P 中 n 个数组成的有序数组 ( a1 , a2 , … , an ) ai 称为向量的分量. 几何上的向量可以认为是它的特殊情形，即 n = 2, 3 且 P 为实数域的情形. 在 n 3 时，n 维向 量就没有直观的几何意义了. 我们所以仍称它为向 量，一方面固然是由于它包括通常的向量作为特殊 情形，另一方面也由于它与通常的向量一样可以定 义运算，并且有许多运算性质是共同的，因而采取 这样一个几何的名词有好处. 以后我们用小写希腊字母 ?，?，? 等来代表向 量. 三、n 维向量的运算 1. 两个向量相等 定义 4 如果 n 维向量 ? = ( a1 , a2 , … , an), ? = (b1 , b2 , … , bn ) 的对应分量都相等，即 ai = bi ( i = 1, 2, … , n ) , 就称这两个向量是相等的，记作 ? = ? . 2. 向量的加法 1) 定义 定义 5 向量 ? = ( a1 + b1 , a2 + b2 , … , an + bn ) 称为向量 ? = ( a1 , a2 , … , an), ? = (b1 , b2 , … , bn ) 的和，记为 ? = ? + ? . 2) 运算规律 交换律　 ? + ? = ? + ? . 结合律　 ? + ( ? + ? ) = ( ? + ? ) + ? . 4) 零向量和负向量 定义 6 分量全为零的向量 ( 0, 0, … , 0 ) 称为零向量，记为 0； 向量 ( - a1 , - a2 , … , - an ) 称为向量 ? =(a1, a2, …, an)的负向量，记为 -? . 显然，对于所有的 ? ，都有 ? + 0 = ? ， ? + ( - ? ) = 0 . 5) 向量减法运算 定义 7 ? - ? = ? + ( - ? ) . 3. 数量乘积 定义 8 设 k 为数域 P 中的数，向量 ( ka1 , ka2 , … , kan ) 称为向量 ? = ( a1, a2, …, an ) 与数 k 的数量乘积， 记为 k? . 1) 定义 2) 运算规律 k (? + ? ) =k ? + k ? , (k + l ) ? = k ? + l ? , k ( l ? ) = ( kl ) ? , 1? = ? , 0 ? = 0 , (-1) ? = - ? , k 0 = 0 . 如果 k ? 0, ? ? 0, 那么 k ? ? 0 . 四、n 维向量空间 定义 9 以数域 P 中的数作为分量的 n 维向 量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数 量乘法，称为数域 P 上的 n 维向量空间. 在 n = 3 时，3 维实向量空间可以认为就是几 何空间中全体向量所成的空间. 以上已把数域 P 上全体 n 维向量的集合组成 一个有加法和数量乘法的代数结构，即数域 P 上 n 维向量空间. 在以后的几节中将进一步讨论它的 性质，并用这些性质描述和解决线性方程组中的一 些问题. 向量通常写成一行： 有时候也可以写成一列： 行向量 列向量 它们只是写法