大学数学(高数微积分)第七章线性变换第八节(课堂讲解).ppt

主要内容 第八节 定义 主要结论 若尔当(Jordan)标准形介绍 一、定义 从前面第五节的讨论可以知道，并不是对于每 一个线性变换都有一组基，使它在这组基下的矩阵 成为对角形. 下面先介绍一下，在适当选择的基下, 一般的一个线性变换能化简成什么形状. 在这一节，我们的讨论限制在复数域中. 定义 13 形式为 的矩阵称为若尔当(Jordan)块，其中 ? 是复数. 由若干个若尔当块组成的准对角矩阵称为若尔当 形矩阵，其一般形状如 其中 并且 ?1 , ?2 , … ?s 中有一些可以相等. 例如 都是若尔当块， 是一个若尔当形矩阵. 而 一级若尔当块就是一级矩阵，因此若尔当形矩 阵中包括对角矩阵. 因为若尔当形矩阵是下三角形矩阵，所以不难 算出，在一个线性变换的若尔当标准形中，主对角 线上的元素正是特征多项式的全部根(重根按重数 计算) . 这一节我们将利用线性变换按它的不变子空间 的直和分解的性质来证明下列重要结论. 二、主要结论 定理 16 设 A 是复数域上线性空间 V 的一 个线性变换，则在 V 中必定存在一组基，使 A 在 这组基下的矩阵是若尔当形矩阵. 证明 设 A 的特征多项式为 ?1 , ?2 , … ?s 是 f (?) 的全部不同的根. 由 知 V 可分解成 A 的不变子空间的直和 V = V1 ? V2 ? … ? Vs , 其中 我们如 能证明在每个 Vi 上有一组基使 A |Vi 在该基下矩 阵为若尔当形矩阵，则定理得证. 为此需证明： 引理 n 维线性空间 V 上线性变换 B 满足 B k = 0 ，k 是某正整数，就称 B 为 V 上幂零线性 变换. 对幂零线性变换 B ，V 中必有下列形式的 一组元素作为基 于是 B 在这组基下的矩阵为 k1` k2` ks` 证明 我们对 V 的维数 n 作归纳法. n =1 . 这时 V 有基 ?1 ，且 B?1 = ?1?1 . 由 B k?1 = ?1k?1 = 0 , 得 ?1 = 0 . 于是 ?1 ( B?1 =0 )，是要求的基. 设线性空间维数 n 时，引理的结论成立. 对 满足引理条件的 n 维线性空间 V，考察 B 的不变 子空间 B V. 若 B V 的维数等于 V 的维数，则 B V = V. 于是 B kV =B k-1 (B V ) = B k-1V = B k-2V = … =V. 但 B kV = 0，得 V = 0，矛盾. 故 B V 的维数小于 n . 将 B 看成 B V 上的线性变换，仍有B k = 0 . 由归纳法假设， BV上有基 其中 k1 , k2 , … , kt 皆为正整数. 由于 ?1 , ?1 , …, ?t 皆属于B V，有?1 , ?2 , …, ?t ?V 使 B?1 = ?1 , … , B?t = ?t . 排出下列向量集合： 其中实线方框中的向量组正是 (4) 中的向量组，虚 线方框中的向量组正是实线方框中各向量在 B 下 的原像所成的向量组. 最后一行中的 是 B 的核 B -1(0) 中的向量，它们是 B V 的基中 的部分向量，故是线性无关的. ?t+1 , …, ?s 是 B -1(0) 中的向量，它们与 合起来正是 B -1(0) 的一组基，并组成上述向量组 (5) 的最后一行. 由 知虚线方框中的向 量与最后一行的向量合起来就是 V 的一组基，且符 合引理的要求 ( 这时 kt+1 = … = ks =1 ) . 完成了归 纳法. 引理证毕 现在回来证明定理 16 . 在 Vi 上有 作 则 由引理，有 Vi 的基使 B 的矩阵为形状如 (3) 的若 尔当形. 于是 A | Vi = B + ?i E 在该基下的矩阵 为 (3) 中矩阵与 ?i E 的和，即为 l1` l2` lt` 也是若尔当形. 把每个 Vi 的上述基合起来是 V 的 基， A 在该基下的矩阵仍为若尔当形矩阵. 证毕 上述结果用矩阵表示就是： 定理 17 每个 n 级复矩阵 A 都与一个若尔当 形矩阵相似. 定理 17 是借助于线性变换的不变子空间的直 和分解及取适当基向量来达到证明的. 这是用线性 变换的工具来解决矩阵问题的范例. 但这方法用于 计算一般矩阵的若尔当形却不方便. 甚至也难于判 断两个 n ? n 矩阵何时是相似的. 这些问题将留待 下一章中用 ? - 矩阵的工具来解决. 在那儿同样可 以得到定理 16 及定理 17，并且能得到若尔当标准 形的唯一性的结论. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本