大学数学(高数微积分)23laplace逆变换课件(课堂讲解).ppt

利用留数方法求 的逆变换. 有两个单零点 得 利用留数方法求 的逆变换. 为单零点， 为二阶零点. 得 利用部分分式方法求 的逆变换. 因此 利用查表方法求 的逆变换. 根据附录二中的公式,在 时,有 利用查表方法求 的逆变换. 在附录二中找不到现成的公式,怎么办? 根据附录二中的公式,有 求 的逆变换. 根据附录二中的公式,有 四、 小结 总结求Laplace逆变换有哪些方法与途径. 四、小结 一、问题的提出 二、Laplace反演积分公式 三、Laplace反演积分的计算方法 一、问题的提出 在前面主要讨论了由已知函数 f (t)求它的象函数 F (s), 但在实际应用中常会碰到与此相反的问题,即已知象函数F (s)求它的象原函数 f (t). 本节来解决这个问题. 由Laplace变换的概念可知, 函数 f (t)的Laplace变换实际上就是 f (t) u (t) e- b t的Fourier变换. 当f (t) u (t) e- b t满足Fourier积分定理的条件时, 按Fourier积分公式, 在 f (t) 的连续点处有 二、 Laplace反演积分公式 等式两边同乘以 e b t,并考虑它与积分无关, 则 二、 Laplace反演积分公式 Laplace 反演积分公式 二、 Laplace反演积分公式 右端的积分称为Laplace反演积分, 它的积分路线是沿着虚轴的方向从虚部的负无穷积分到虚部的正无穷. 而积分路线中的实部b则有一些随意, 但必须满足的条件就是e-btf (t) u (t)的零到正无穷的积分必须收敛. 计算复变函数的积分通常比较困难, 但是可以用留数方法计算. 二、 Laplace反演积分公式 三、Laplace反演积分的计算方法 定理: 若s1, s2, ..., s n 是函数F (s)的所有奇点(适当选取 b 使这些奇点全在Re (s)b的范围内), 且当s??时, F(s)?0, 则有 如图, 闭曲线C=L+CR, CR在Re (s) b的区域内是半径为R的圆弧, 当R充分大后, 可以使F (s) 的所有奇点包含在闭曲线C围成的区域内. 三、Laplace反演积分的计算方法 证明 : R O 实轴 虚轴 L CR b+ j R b - j R b 三、Laplace反演积分的计算方法 根据留数定理可得 三、Laplace反演积分的计算方法 在上式左方取R???的极限, 并根据Jordan引理, 当t 0时, 有 得 三、Laplace反演积分的计算方法 如果函数F (s)是有理函数, 即 其中A(s)和B(s)是不可约的多项式,B(s)的次数是n,A(s)的次数小于B(s)的次数,这时F(s)满足定理所要求的条件. 三、Laplace反演积分的计算方法 情形A: 若 有n个单零点 即这些都是 的单极点,根据留数的计算方法,有 得 三、Laplace反演积分的计算方法 情形B: 若 是 的一个m阶零点,是 的单极点,即 是 的m阶极点, 是它的单极点.根据留数的计算方法,有 三、Laplace反演积分的计算方法 三、Laplace反演积分的计算方法