大学数学(高数微积分)第七章线性变换第九节(课堂讲解).ppt

主要内容 * 第九节 最小多项式 定义 性质 矩阵可对角化的条件 一、定义 根据 ，任给数域 P 上一 个 n 级矩阵 A，总可找到数域 P 上一个多项式 f (x) 使 f (A) = 0 . 如果多项式 f (x) 使 f (A) = 0 ，我们 就称 f (x) 以 A 为根. 当然，以 A 为根的多项式是 很多的，其中次数最低的首项系数为 1 的以 A 为 根的多项式称为 A 的最小多项式. 这一节讨论 如何应用最小多项式来判断一个矩阵能否对角化 的问题. 二、性质 引理 1 矩阵 A 的最小多项式是唯一的. 证明 设 g1(x) 和 g2(x) 都是 A 的最小多项式 , 根据带余除法， g1(x) 可表示成 g1(x) = q(x)g2(x) + r(x) , 其中 r(x) = 0 或 ?( r(x) ) ? ( g2(x) ) ， g1(A) = q(A)g2(A) + r(A) = O. 因此， r(A) = O. 由最小多项式的定义， r(x) = 0 , 即 g2(x) | g1(x) . 同样可证 g1(x) | g2(x). 于是 因此 g1(x) 与 g2(x) 只能相差一个非零常数因子. 又 因 g1(x) 与 g2(x) 的首项系数都等于 1 ，所以 g1(x) = g2(x) . 证毕 应用同样的方法，可证下述引理 引理 2 设 g(x) 是矩阵 A 的最小多项式，那 么 f (x)以 A 为根的充分必要条件是 g(x) 整除 f (x). 由此可知，矩阵 A 的最小多项式是 A 的特征 多项式的一个因式. 例 1 数量矩阵 kE 的最小多项式为 x - k ，特 别地，单位矩阵的最小多项式为 x - 1 , 零矩阵的最 小多项式为 x . 另一方面，如果 A 的最小多项式是 1 次多项式 那么 A 一定是数量矩阵. 例 2 设 求 A 的最小多项式. 解 因为 A 的特征多项式为 | xE - A | = ( x - 1 )3 . 所以 A 的最小多项式为 ( x - 1 )3 的因式. 显然， A - E ? O 而( A - E )2 = O , 因此 A 的最小多项式为 ( x - 1 )2 . 相似矩阵有相同的最小多项式. 事实上，如果矩阵 A 与 B 相似：B = T-1AT， 那么对任一多项式 f (x)， f (B)=T-1f (A)T . 因此， f (B)= O f (A)= O 这说明相似矩阵有相同的最小多项式. 注意： 最小多项式相同的矩阵不一定是相似 的. 下面的例子说明这个结论. 例 3 设 A 与 B 的最小多项式都等于 ( x - 1 )2( x - 2 )，但是 它们的特征多项式不同，因此 A 和 B 不是相似的. 为了讨论矩阵对角化的问题，还需要用到下面 的引理. 引理 3 设 A 是一个准对角矩阵 并设 A1 的最小多项式为 g1(x) ， A2 的最小多项式 为 g2(x) ， 最小公倍式 [ g1(x) ， g2(x) ] . 那么 A 的最小多项式为 g1(x) ， g2(x) 的 证明 记 g(x) =[ g1(x) ， g2(x) ]，首先 因此， g(x) 能被 A 的最小多项式整除. 其次，如 果 h(A) = O，那么 所以 h(A1) = O , h(A2) = O , 因而 g1(x) | h(x) , g2(x) | h(x) . 并由此得 g(x) | h(x) . 这样就证明了 g(x) 是 A 的最小多项式. 证毕 这个结论可以推广到 A 为若干个矩阵组成的 准对角矩阵的情形. 即：如果 Ai 的最小多项式为 gi(x)，i =1, 2, … , s， 最小多项式为 [ g1(x) , g2(x) , … , gs(x) ] . 那么 A 的 引理 4 k 级若尔当块 的最小多项式为 ( x - a )k . 证明 J 的特征多项式为 ( x - a )k ，而 所以 J 的最小多项式为 ( x - a )k . 证毕 三、矩阵可对角化的条件 定理 18 数域 P 上 n 级矩阵 A 与对角矩阵相 似的充分必要条件为 A 的最小多项式是 P 上互素的 一次因式的乘积. 证明 根据引理 3 的推广的情形，条件的必要 性是显然的. 现在证明充分性. 根据矩阵和线性变换之间的对应关系，我们可 定义任意线性变换 A 的最小多项式，它等于其对 应矩阵 A 的最小多项式. 我们只要证明，若数域 P 上某线性空间 V 上的线性变换 A 的最小多项式 g(x) 是 P 上互素的一次因式的乘积： 则 A 有一组特征向量做成 V 的基. 实际上，由于g( A )