大学数学(高数微积分)第七章线性变换第七节(课堂讲解).ppt

u1(A ) f1(A ) + u2(A ) f2(A ) + … + us(A ) fs(A ) =E. 于是 这样对 V 中每个向量 ? 都有 ? =u1(A )f1(A )?+u2(A )f2(A )?+…+us(A )fs(A )? 其中 ui(A )fi(A )? ? fi(A )V = Vi , i =1, 2, … , s . 这就证明了第一点. 为证明第二点，设有 ?1 + ?2 + … + ?s = 0， 其中 ?i 满足 现在证明任一个 ?i = 0 . 因 所以 fi(A ) ?j = 0 ( j ? i ) . 用 fi(A ) 作用于 ?1 + ?2 + … + ?s = 0 的两边，即得 fi(A ) ?i = 0 . 又 所以有多项式 u(?) , v(?) 使 于是 现在设 ?1 + ?2 + … + ?s = 0， 其中?i ?Vi . 当然 ?i 满足 所以 ?i = 0，i =1, 2, … , s . 由此可得到第一点中的 表示法是唯一的. 再设有一向量 的核. 把 ? 表 示成 ? = ?1 + ?2 + … + ?s , ?i ?Vi i = 1 , 2, … , s . 即 ?1 + ?2 + … + (?i - ?) + … +?s = 0 . 令 ?j = ?j ，j ? i , ?i = ?i - ? ， 满足 ?1 + ?2 + … + ?s = 0 和 的向量. 所以 ?1 = ?2 = … = ?i = … = ?s = 0 , 于是 ? = ?i ?Vi ，这就证明了 Vi 是 的核，即 则 ?1 , ?2 , … , ?s 是 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 主要内容 定义 第七节 不变子空间 举例 子空间为 A - 子空间的条件 特征向量与一维不变子空间的关系 A 在不变子空间上引起的变换 不变子空间与矩阵化简之间的关系 空间的分解 一、定义 这一节我们再来介绍一个关于线性变换的重要 概念------不变子空间. 同时利用不变子空间的概念 来说明线性变换的矩阵的化简与线性变换的内在联 系. 这样，对上面的结果可以有进一步的了解. 定义 12 设 A 是数域 P 上线性空间 V 的线性 变换，W 是 V 的子空间. 如果 W 中的向量在A 下 的像仍在 W 中，换句话说，对于 W 中任一向量 ? 有 A ? ? W， 简称 A - 子空间. 我们就称 W 是 A 的 不变子空间， 二、举例 例 1 整个空间 V 和零子空间 { 0 }，对于每个 线性变换 A 来说都是 A -子空间. 例 2 A 的值域与核都是 A -子空间. 按定义， A 的值域 A V 是 V 中的向量在A 下 的像的集合，它当然也包含 A V 中向量的像，所 以 A V 是 A 的不变子空间. A 的核是被 A 变成零的向量的集合，核中向 量的像是零，自然在核中，因此核是不变子空间. 例 3 若线性变换 A 与