大学数学(高数微积分)12Fourier变换课件(课堂讲义).ppt

作图中所示单个矩形脉冲的频谱图. 根据上面的讨论,单个矩形脉冲的频谱函数为 再根据振幅频谱 作出频谱图 作指数衰减函数 的频谱图. 由 得 因此 作出频谱图: 作单位脉冲函数 的频谱图. 本节学习了 接下来学习 Fourier变换的定义,单位脉冲函数的Fourier变换及非周期函数的频谱、 四、小结 Fourier变换的性质、 Fourier变换的定义是什么?存在条件是什么? 思考复习 四、小结 2) 钟形脉冲函数的积分表达式 积分性质,有 由 利用奇偶函数的 的正弦变换和余弦变换. 由 正弦变换为 余弦变换为 在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流i(t)、 以q(t)表示上述电路中到时刻t为止通过导体截面的电荷函数, 则 二、单位脉冲函数及其Fourier变换 由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即 所以,当t?0时,i(t)=0,由于q(t)是不连续的, 从而在普通导数意义下, q(t)在这一点的导数不存在、 二、单位脉冲函数及其Fourier变换 如果我们形式地计算这个导数, 则得 这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示上述电路的电流强度、 为了确定这种电路上的电流强度, 必须引进一个新的函数,这个函数称为 Dirac函数, 简单地记成d-函数、 二、单位脉冲函数及其Fourier变换 对于任何一个无穷可微的函数f(t),如果满足 则称 的弱极限为d -函数, 记为d(t). 二、单位脉冲函数及其Fourier变换 表明d -函数可以看成一个普通函数序列的弱极限. 二、单位脉冲函数及其Fourier变换 d -函数的定义: 任何 ，有 工程上,常将d -函数称为单位脉冲函数. 可将d -函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d -函数的强度. 二、单位脉冲函数及其Fourier变换 1.d -函数的性质: 证明: 若　　为无穷次可微的函数,则有 1)筛选性质: 二、单位脉冲函数及其Fourier变换 由于 　　为无穷次可微的函数,则f (t)是连续函数,由积分中值定理,有 二、单位脉冲函数及其Fourier变换 同理可得 2) d -函数的导数 若 f(t)为无穷次可微的函数,则有 同理可得 二、单位脉冲函数及其Fourier变换 3) d -函数是偶函数: 证明: 二、单位脉冲函数及其Fourier变换 4) d -函数是单位阶跃函数的导数: 称为单位阶跃函数、 5) 时间尺度变换性质: 其中 为任意正数. 二、单位脉冲函数及其Fourier变换 6) 卷积性质 7) 乘以时间函数的性质 其中 为任意常数. 为在 处连续的任意函数. 二、单位脉冲函数及其Fourier变换 1) 　　　　 的Fourier变换对 2.d -函数的Fourier变换 二、单位脉冲函数及其Fourier变换 可见, 单位脉冲函数d (t)与常数1构成了一个Fourier变换对. 2) 　　 的Fourier变换对 二、单位脉冲函数及其Fourier变换 可见, 与 构成了一个Fourier变换对. 二、单位脉冲函数及其Fourier变换 证明单位阶跃函数 的Fourier变换为 则 表明 的Fourier变换为 求正弦函数 的Fourier变换. 根据Fourier变换的公式,有 三、非周期函数的频谱 1.周期函数的频谱 对于以　为周期的非正弦函数　　，它的第　次谐波 的振幅为 其中 在复指数形式中，第　次谐波 且 三、非周期函数的频谱 对于以　为周期的非正弦函数　　，它的第　次谐波的振幅为 各次谐波的振幅随频率变化的分布情况. 频谱图的概念： 频率和振幅的关系图. 频谱的图形是不连续的，故称为离散频谱. 表明了一个非正弦周期函数包含了哪些频率分量 及各分量占的比重. 三、非周期函数的频谱 描述了 离散频谱的性质： 频谱图形关于直线　　　对称. 相交频谱是　　的奇函数，即 三、非周期函数的频谱 2)非周期函数的频谱 非周期函数 ,当它满足Fourier积分定理中的条件时,则在 的连续点处可表示为 其中 为它的Fourier变换. 三、非周期函数的频谱 在频谱分析中, Fourier变换 称为 的频谱函数,而频谱函数的模 称