大学数学(高数微积分)第二章行列式第八节课件(课堂讲义).ppt

定理 8 两个 n 级行列式 三、行列式的乘法定理 其中 cij 是 D1 的第 i 行元素分别与 D2 的第 j 列的 对应元素乘积之和： cij = ai1b1j + ai2b2j + … + ainbnj . 证明 作一个 2n 级行列式 的乘积等于一个 n 级行列式 根据拉普拉斯定理，将 D 按前 n 行展开. 则因 D 中前 n 行除去左上角那个 n 级子式外，其余的 n 级 子式都等于零. 所以 现在来证 D = C. 对 D 作初等行变换： 将第 n +1 行的 a11 倍，第 n + 2 行的 a12 倍 , …, 第 2n 行的 a1n 倍加到第一行，得 再依次将第 n + 1 行的 ak1 ( k = 2, 3, … , n) 倍，第 n + 2 行的 ak2 倍, … , 第 2n 行的 akn 倍加到第 k 行, 就得 这个行列式的前 n 行也只可能有一个 n 级子式不为 零，因此由拉普拉斯定理 = C. 证毕 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 主要内容 定义 *第八节 拉普拉斯 (Laplace) 定理 行列式的乘法规则 拉普拉斯定理 行列式的乘法定理 这一节介绍行列式的拉普拉斯定理，这个定理 可以看成是行列式按一行展开公式的推广. 首先我们把余子式和代数余子式的概念加以 推广. 一、定义 定义 9 在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列 (k ? n) . 位于这些行和列的交点上的 k2 个元素 按照原来的次序组成一个 k 级行列式 M, 称为行列 式 D 的一个 k 级子式. 在 D 中划去这 k 行 k 列后 余下的元素按照原来的次序组成的 n - k 级行列式 M ? , 称为 k 级子式 M 的余子式. 从定义立刻看出，M 也是 M ? 的余子式. 所以 M 和 M ? 可以称为 D 的一对互余的子式. 例 1 在四级行列式 中选定第一、三行，第二、四列得到一个二级子式 M 的余子式为 例 2 在五级行列式 中 和 是一对互余子式. 定义 10 设 D 的 k 级子式 M 在 D 中所在的 行、列指标分别是 i1, i2, … , ik ; j1, j2, … , jk . 则 M 的余子式 M ? 前面加上符号 后称做 M 的代数余子式. 例如，上述 上述 中 M 的代数余子式是 中 M 的代数余子式是 二、拉普拉斯定理 引理 行列式 D 的任一个子式 M 与它的代数 余子式 A 的乘积中的每一项都是行列式 D 的展开 式中的一项，而且符号也一致. 证明 我们首先讨论 M 位于行列式 D 的左 上方的情形： 此时 M 的代数余子式 A 为 M 中的每一项都可写作 其中 ?1 , ?2 , … , ?k , 是 1, 2, … , k 的一个排列，所 以这一项前面所带的符号为 M ? 中的每一项都可写作 其中 ?k+1 , ?k+2 , …, ?n 是 k + 1, k + 2, … , n 的一个 排列，这一项在 M ? 中前面所带的符号是