大学数学(高数微积分)第二章行列式第六节课件(课堂讲解).ppt

由于aij = akj , j = 1, 2, … , n , k ? i ，把上式的 aij 换 成 akj ，得 于是就有 第 i 行 第 k 行 上式右端的行列式中含有两个相同的行，故行列 式的值等于零. 证毕 四、3 级行列式的几何意义 设 3 级行列式 的行是向量 ?1、?2、?3 在直角坐标系下的坐标, 即 那么 于是 由此可得 三个向量?1、?2、?3 共面的充要条件是： 的坐标构成的 3 级行列式 d = 0；若 d ? 0，则 |d | 表 示以这三条向量为邻边的平行六面体的体积. 例如 它们 设 因为 所以它们共面. 图 2 – 1 如图 2 – 1 所示. 设 其体积 V 为 以 ?1、?2、 ?3为邻边的 平行六面体如图2 – 2 所示. 图 2 – 2 五、行列式计算举例 例 2 任意输入一个行列式，利用下列展开式 模型计算之. 例 3 行列式 称为 n 级的范德蒙德 (Vandermonde) 行列式. 证明 证明 对 n 作归纳法. 当 n = 2 时， 结论成立. 设对于 n - 1 级的范德蒙德行列式结论 成立，现在来看 n 级的情形. 在 n 级范德蒙德行 列式中，第 n 行减去第 n - 1 行的 a1 倍，第 n - 1 行 减去第 n -2 行的 a1 倍. 也就是由下而上依次地从 每一行减去它上一行的 a1 倍，有 按第 1 列展开，并把列的公因子(ai - a1) 提出，得 上式右端行列式是 n - 1 级范德蒙德行列式，按归 纳法假设，它等于所有 (ai - aj) 因子的乘积，其中 2 ? j i ? n . 故 证毕 例 4 证明 证明 对 k 用数学归纳法. 当 k = 1 时，上式左边为 按第一行展开，就得到所要的结论. 假设当 k = m - 1 时结论成立，即左边行列式的 左上角是 m - 1 级时已经成立， 时，结论也成立. 当 k=m 时，按第一行展开，有 现在再来证明 k=m 这里第二个等号是用了归纳法假定，最后一步是 根据按一行展开的公式. 根据归纳法原理，结论普遍成立. 证毕 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 主要内容 问题的提出 第六节　行列式按一行（列）展开 余子式和代数余子式 行列式按行(列)展开定理 3级行列式的几何意义 行列式计算举例 一、问题的提出 在第四节中，我们把 n 级行列式的定义中的 n! 项分成 n 组，每组提取公因式后得到如下结果： i = 1, 2, … , n . 那么这些 Aij , i, j = 1, 2, …, n, 究竟是什么呢？ 这就 是本节我们将要讨论的问题. 为了找到解决问题的 线索，还是从二级和三级行列式的定义入手. 二级 和三级行列式的定义分别如下： 把三级行列式定义中的 6 项，按含有第一行的 3个元素的规则进行分组，每组提取公因式，得 于是就有 也就是说，A11，A12，A13 都是带符号的二级行列 式，那么这些二级行列式的构成有规律吗？ 符号又是怎么确定的呢？ 下面作进一步的研究. A11，A