大学数学(高数微积分)第一章多项式第三节(课堂讲解).ppt

主要内容 引入 带余除法 第三节 整除的概念 整除 二、带余除法 带余除法 对于 P[x] 中任意两个多项式 f (x) 与 g(x) ，其中 g(x) ? 0，一定有 P[x] 中的多项式 q(x) , r(x) 存在，使 f (x) = q(x) g(x) + r(x) (1) 成立，其中 ? ( r(x) ) ? ( g(x) ) 或者 r(x) = 0 ，并 且这样的 q(x) , r(x) 是唯一决定的. 证明 等式 f (x) = q(x) g(x) + r(x) 中 q(x) 和 r(x) 的存在性可以由前面所说的除法直接 得出. 下面用归纳法的语言来叙述. 如果 f (x) = 0，取 q(x) = r(x) = 0 即可. 以下设 f (x) ? 0 . 令 f (x) , g(x) 的次数分别为 n , m . 对 f (x) 的次数 n 作(第二)数学归纳法. 当 n m 时，显然取 q(x) = 0， r(x) = f (x) ， 结论成立. 下面讨论 n ? m 的情形. 假设当 f (x) 的次数小 于 n 时， q(x) , r(x) 的存在性已证. 现来看次数为 n 的情形. 令 axn , bxm 分别是 f (x) , g(x) 的首项，显然 b -1axn - m g(x) 与 f (x) 有相同的首项，因而多项式 f1(x) = f (x) - b -1axn - m g(x) 的次数小于 n 或为 0 . 对于后者，取 q(x) = b -1axn - m ， r(x) = 0 ； 对于前者，由归纳法假设，对 f1(x) , g(x) 有 q1(x) , r1(x) 存在使 f1(x) = q1(x) g(x) + r1(x) ， 其中 ? ( r1(x) ) ? ( g(x) ) 或者 r1(x) = 0 . 于是 f1(x) = f (x) - b -1axn - m g(x) f1(x) = q1(x) g(x) + r1(x) f (x) = (q1(x) + b -1axn - m ) g(x) + r1(x) , 也就是说，有 q (x) = q1(x) + b -1axn - m ， r(x) = r1(x) 使 f (x) = q(x) g(x) + r(x) 成立. 存在性得证. 下面再来证唯一性. 设另有 q? (x) , r? (x) 使 f (x) = q? (x) g(x) + r? (x) ， 其中 ? ( r? (x) ) ? ( g(x) ) 或者 r? (x) = 0 . 于是 q(x) g(x) + r(x) = q? (x) g(x) + r? (x) ， 即 ( q(x) - q? (x) ) g(x) = r? (x) - r(x) . 如果 q(x) ? q? (x) ，又据假设 g(x) ? 0，那么 r? (x) - r(x) ? 0， 且有 ? ( q(x) - q? (x) ) + ? ( g(x) ) = ? ( r? (x) - r(x) ) . 但是 ? ( g(x) ) ? ( r? (x) - r(x) ) ， 所以上式不可能成立. 这就证明了q(x) = q? (x) ，因 此 r? (x) = r(x) . 唯一性得征. 证毕 带余除法中所得的 q(x) 通常称为 g(x) 除 f (x) 的商， r(x) 通常称为 g(x) 除 f (x) 的余式. 三、整除 1. 定义 定义 5 数域 P 上的多项式 g(x) 称为整除 f (x) ，如果有数域 P 上的多项式 h(x) 使等式 f (x) = g(x) h(x) 成立. 我们用“g(x) | f (x)”表示 g(x) 整除 f (x) ， 用“g(x) | f (x)”表示 g(x) 不能整除 f (x) . 当 g(x) | f (x) 时， g(x) 就称为 f (x) 的因式， f (x) 称为 g(x) 的倍式. 当 g(x) ? 0 时，带余除法给出了整除性的一个 判别法. 2. 整除的条件 定理 1 对于数域 P 上的任意两个多项式 f (x) 和 g(x) ，其中 g(x) ? 0 ， g(x) | f (x) 的充分必要条 件是 g(x) 除 f (x) 的余式为零. 证明 如果 r(x) = 0，那么 f (x) = q(x) g(x) , 即 g(x) | f (x) . 反过来，如果 g(x) | f (x)，那么 f (x) = q(x) g(x) = q(x) g(x) + 0 ， 即 r(x) = 0. 证毕