大学数学(高数微积分)第一章多项式第四节(课堂讲解).ppt

2. 互素的条件 定理 3 P[x] 中两个多项式 f (x) , g(x) 互素的 充分必要条件是有 P[x] 中的多项式 u (x) , v (x) 使 u (x) f (x) + v (x) g(x) = 1 . 证明 必要性是 的直接推论. 下面来证充分性. 设有 u (x) , v (x) 使 u (x) f (x) + v (x) g(x) = 1 . 又设 ? (x) 是 f (x) 与 g(x) 的一个最大公因式. 于是 ? (x) | f (x) , ? (x) | g(x)，从而 ? (x) | 1 ，即 f (x) ， g(x) 互素. 证毕 3. 互素的性质 定理 4 如果 ( f (x) , g(x) ) = 1，且 f (x) | g(x) h(x) , 那么 f (x) | h(x) . 证明 由 ( f (x) , g(x) ) = 1 可知，有 u(x) , v(x) 使 u (x) f (x) + v (x) g(x) = 1 . 等式两边乘 h(x)，得 u (x) f (x) h(x) + v (x) g(x) h(x) = h(x)， 因为 f (x) | g(x) h(x)，所以 f (x) 整除等式右端，从 而 f (x) | h(x) . 证毕 推论 如果 f1(x) | g(x) ， f2(x) | g(x) 且 ( f1(x) , f2(x) ) = 1 , 那么 f1(x) f2(x) | g(x) . 证明 由 f1(x) | g(x) 有 g(x) = f1(x) h1(x) . 因为 f2(x) | f1(x) h1(x) ，且 ( f1(x) , f2(x) ) = 1 , 所以 根据 有 f2(x) | h1(x) ，即 h1(x) = f2(x) h2(x) ， 代入 g(x) = f1(x) h1(x) 即得 g(x) = f1(x) f2(x) h2(x) . 这就是说， f1(x) f2(x) | g(x) . 证毕 四、多个多项式的情形 在上面，最大公因式与互素的概念，都是对 两个多项式定义的. 事实上，这两个概念可推广到 任意多个多项式的情形. 1. 多个多项式的最大公因式 定义8 设 f1(x) , f2(x) , … , fs(x) 是任意 s (s ? 2) 个多项式，d(x) 称为 f1(x) , f2(x) , …, fs(x) 的一个最 大公因式，如果 d(x) 具有下面的性质： 1) d(x) | fi(x) , i = 1 , 2 , … , s ; 2) 如果 ? (x) | fi(x) , i = 1 , 2 , … , s ，那么 ? (x) | d(x) . 我们仍用符号 ( f1(x) , f2(x) , …, fs(x) ) 来表示 首项系数为 1 的最大公因式. 不难证明， f1(x) , f2(x) , …, fs(x) 的最大公因式存在，而且当 f1(x) , f2(x) , …, fs(x) 全不为零时， ( ( f1(x) , f2(x) , …, fs-1(x) ) , fs(x) ) 就是 f1(x) , f2(x) , …, fs(x) 的最大公因式，即 ( f1(x) , f2(x) , …, fs(x) ) = ( ( f1(x) , f2(x) , …, fs-1(x) ) , fs(x) ) . 同样，利用以上这个关系可以证明，存在多项式 ui(x) , i = 1 , 2 , … , s ，使 u1(x) f1(x) + u2(x) f2(x) + … + us(x) fs(x) = ( f1(x) , f2(x) , …, fs(x) ) . 2. 多个多项式互素 定义9 如果 ( f1(x) , f2(x) , …, fs(x) ) = 1，那么 f1(x) , f2(x) , …, fs(x) 就称为互素的. 同样，有类似于定理 3 的结论. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮