工程力学（静力学与材料力学）教学课件作者顾晓勤第10章梁的弯曲变形第1节挠曲线近似微分方程课件.ppt

第 1 节 挠曲线近似微分方程 第十章 梁的弯曲变形 工程中的很多结构或构件在工作时， 不但要满足强度条件，同时对于弯曲变形都有一定的要求： 第一类是要求梁的位移不得超过一定的数值。例如若机床主轴的变形过大，将会影响齿轮的正常啮合以及轴与轴承的正常配合，造成不均匀磨损、振动及噪音，缩短了机床的使用寿命，还影响机床的加工精度。因此，在工程中进行梁的设计时，除了必须满足强度条件之外，还必须限制梁的变形，使其不超过许用的变形值。 第十章 梁的弯曲变形 第二类是要求构件能产生足量的变形。例如车辆钢板弹簧，变形大可减缓车辆所受到的冲击；跳水起跳板大变形，以确保运动员被弹起。 第十章 梁的弯曲变形 挠曲轴线方程 挠曲轴线：图示悬臂梁在纵向对称面内的外力 的作用下，将产生平面弯曲，变形后梁的轴线将变为一条光滑的平面曲线，称梁的挠曲轴线。 一、挠曲轴线近似微分方程 挠度：截面形心线位移的垂直分量称为该截面的挠度，用 y 表示。 转角：横截面绕中性轴转动产生了角位移，此角位移称转角，用? 表示。小变形时，转角? 很小，则有以下关系： 由此可知，只要知道梁的挠曲轴线方程 ，就可求出挠度和转角。 挠度和转角的正负号的规定 挠度：与y轴正方向同向为正，反之为负； 转角：以逆时针方向转动为正，反之为负。 梁任一截面的曲率 曲线 的曲率 挠曲轴线 近似微分方程 二阶小量 1）如图a所示，梁的挠曲轴线是一下凸曲线，梁的下侧纤维受拉，弯矩 M 0，曲线的二阶导数 y?? 0； 微分方程弯矩M与曲线的二阶导数 y??的正负号关系 挠曲轴线 近似微分方程 2）如图b所示，梁的挠曲轴线是一上凸曲线，梁的下侧纤维受压，弯矩 M 0，曲线的二阶导数 y?? 0； 挠曲轴线 近似微分方程 结 论 两种情况下弯矩与曲线的二阶导数均同号，微分方程式应取正号，即： 梁的挠曲轴线近似微分方程的适用条件：梁的变形是线弹性的小变形。 挠曲轴线 近似微分方程 第 1 节 挠曲线近似微分方程 第十章 梁的弯曲变形