工程力学 静力学与材料力学 教学课件 作者 王永廉 13弯曲变形.ppt

* * 第十三章 弯曲变形 第一节 引言 一、梁对称弯曲时的变形 对称弯曲时，梁的轴线弯成一 条光滑连续的平面曲线。 该曲线称为梁的挠曲线 建立图示坐标系， 有挠曲线方程 二、梁的位移参量 弯曲变形所导致的梁横截面的位移可用两个参量来描述 —— 横截面形心的竖向线位移， 横截面绕中性轴转动的角度， 1. 挠度（线位移） 为挠曲线的纵坐标 w，规定上 正下负； 即 2. 转角（角位移） 在小变形情况下，转角为 记作 ? ，规定逆时针旋向为正，反 之为负， 第二节 挠曲线近似微分方程 一、梁的挠曲线（中性层）曲率 式中，EIz 称为梁的抗弯刚度。 二、梁的挠曲线近似微分方程 联立高等数学中的曲率计算公式 得梁的挠曲线近似微分方程 第三节 计算弯曲变形的积分法 对梁的挠曲线近似微分方程 一次积分，得转角方程 二次积分，得挠曲线方程 说明： 1）若弯矩方程 M(x) 为分段函数，积分则应分段进行； 2）积分常数由梁的位移边界条件以及位移连续条件确定。 式中，C、D 为积分常数。 [例1] 试列出下列各梁的位移边界条件 [例2] 受均布载荷作用的简支梁如图所示，已知抗弯刚度 EI 为常数，试求此梁的最大挠度以及截面 A 的转角。 1）列弯矩方程 解： 2）建立转角方程和挠曲线方程 对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程 再积分一次，得挠曲线方程 3）确定积分常数 该梁的位移边界条件为 解得积分常数 故得梁的转角方程和挠曲线方程分别为 4）计算最大挠度和最大转角 由梁的变形图易见，梁的最大 挠度发生于 x = l /2 的跨中截面 处，故得最大挠度 截面 A 的转角： [例3] 图示简支梁，在截面C 处受集中力F 作用，试建立梁的转角方程和挠曲线方程，并计算最大挠度和最大转角。设梁的抗弯刚度 EI 为常数。 1）列弯矩方程 解： 支座反力 分段列弯矩方程 AC 段（0≤ x1 ≤ a） CB 段（a ≤ x2 ≤ l ） 分段积分，得转角方程和挠曲 线方程分别为 AC 段（0≤ x1 ≤ a） CB 段（a ≤ x2 ≤ l ） 2）建立转角方程和挠曲线方程 3）确定积分常数 位移边界条件： 位移连续条件： 根据上述条件求得四个积分常数分别为 AC 段（0≤ x1 ≤ a） CB 段（a ≤ x2 ≤ l ） 所以，最终梁的转角方程和挠曲线方程分别为 AC 段（0≤ x1 ≤ a） CB 段（a ≤ x2 ≤ l ） 4）计算最大转角和最大挠度 假设 a ＞ b，可得梁的最大转角 AC 段（0≤ x1 ≤ a） CB 段（a ≤ x2 ≤ l ） 最大挠度 第四节 计算弯曲变形的叠加法 叠加法的要点 —— 1）叠加法适用前提：线弹性、小变形 3）必须画出叠加变形图 2）记住常用结论 4）掌握叠加法的常用技巧 [例4] 图示悬臂梁，同时承受集中载荷 F1 和 F2 的作用。设梁的抗弯刚度为 EI，试用叠加法计算自由端 C 的挠度 wC 。 解： [例5] 阶梯悬臂梁如图，试求自由端端 C 的挠度 wC 。已知 BC 段梁的抗弯刚度为为 EI、AB 段梁的抗弯刚度为为 2EI。 解： [例6] 外伸梁如图，试用叠加法计算截面 C 的挠度 wC 和转角?C ，设梁的抗弯刚度 EI 为常量。 解： 第五节 弯曲刚度计算 一、梁的刚度条件 式中，[w] 为梁的许用挠度 2. 采用合理的截面形状 选用具有较高 Iz / A 比值的截面形状 3. 减小梁的跨度 结论：工字形截面较为合理 二、提高梁的弯曲刚度的措施 1. 合理选材 选用弹性模量 E 较高的材料 结论：用高强度合金钢取代普通碳钢对于提高弯曲刚度没有意义