工程力学（静力学与材料力学）教学课件作者顾晓勤第12章复杂应力状态和强度理论第2节二向应力状态分析课件.ppt

第 2 节 二向应力状态分析 第十二章 复杂应力状态和强度理论 一、单元体截面上的应力 正应力?：仍以拉压力为正，压应力为负； 切应力?：当表示切应力的矢有绕单元体内任一点作顺时针转动趋势时为正，反之为负； 斜截面外法线与x轴所成角度?：从 x 轴按逆时针转向转到外法线n时为正，反之为负。 规 定 设de斜截面面积为dA，则ae面的面积为dA?sin? 面的面积为dA?cos? 。取 t 和 n 为参考轴，建立棱柱体ade的受力平衡方程如下： 由切应力互等定理有?x=?y，并利用三角关系： 、 及 对以上二式进行整理得到： 利用上述两式可以求得de斜截面上的正应力和切应力。且斜截面上的应力是角度? 的函数，正应力??和切应力?? 随截面的方位改变而变化。 若已知单元体上互相垂直面上的应力?x、?x 、?y、?y，则该点处的应力状态可由上述两式完全确定。 例12-1 已知构件内某点处的应力单元体如图所示，试求斜截面上的正应力?? 和切应力?? 。 解：按正负号规定则有： 代入公式得： 将公式?? 对? 求一阶导数、并令其为0： 则有： 二、主应力和极限切应力 1、主应力和主平面 则 三个主平面互相垂直。 上式解得的斜截面角有?0 和90o+?0 两个，其中一个是?max所在的平面，另一个是?min所在的平面，且两个主平面相互垂直的。再考虑到各应力均为零的平面也是主平面，故平面应力状态下的 极值正应力所在的平面恰好是切应力等于零的面，即主平面。因此极值正应力就是主应力。 说 明 最大主应力和最小主应力的计算式 确定 ?max 和 ?min 所在平面的方法 1）若?x?y，则所求的两个角度?0 和90o+ ?0 中， 绝对值较小的一个确定?max所在的平面； 2）若?x?y，则所求的两个角度?0 和90o+ ?0 中， 绝对值较小的一个确定?min所在的平面； 确定?max和?min所在平面的方法 3）若?x=?y ，如果有?x 使单元体顺时针转动趋势，则 指向为从所在的 x 轴正向沿顺时针转过45o，如图a 所示；如果有?x 使单元体逆时针转动趋势，则指向 为从所在的x轴正向沿逆时针转过45o，如图b所示 2、极限切应力及所在平面 同理：将公式?? 对? 求一阶导数，并令其为0： 则有： 则 上式解得的斜截面角有?1 和90o+?1 两个，其中一个是?max所在的平面，另一个是?min所在的平面，且两个主平面相互垂直的。 例12-2 扭转试验破坏现象如下：低碳钢试件从表面开始沿横截面破坏，如图a所示；铸铁试件则从表面开始沿与轴线成倾角的螺旋曲面破坏，如图b所示。试分析并解释它们的破坏原因。 解：1）试件横截面最外端切应力最大，所以低碳钢和铸铁两种试件均从表面开始破坏。 2）要解释断口的不同，首先确定最大正应力和最大切应力所发生的平面： 当 时， 当 时， 低碳钢试件扭转破坏是被剪断的，且其抗剪能力低于其抗拉能力。 铸铁试件扭转破坏是被拉断的，且其抗拉能力低于其抗剪能力。 例12-3 图示单元体，?x=100MPa，?x= –20MPa， ?y=30MPa。试求：1）? = 40o 的斜截面上的?? 和?? ；2）确定A点处的?max、?max和它们所在的位置。 解：1） ，代入公式 2）A点处的?max、?max 因 ?x ?y ，则所求的两个角度?0 和 90o + ?0 中，绝对值较小的 14o52 确定?max所在的平面。 ?max 所在截面的方位角： 第 2 节 二向应力状态分析 第十二章 复杂应力状态和强度理论