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第四章数值微积分 Newton-Cotes 型求积公式 复化求积公式 Gauss 型求积公式 数值微分 §1. 引言 §1. Newton-Cotes型求积公式 一、梯形公式（n=1） 二、抛物线(辛普森-Simpson)公式（n=2） 三、Cotes公式及误差（n=4） 一、复化梯形公式 本节要点： 二、复化抛物线公式 本节 (§3)小结 §4 Gauss型求积公式 二、常用的正交多项式 三、Gauss型求积公式的一般理论 四 几种常用Gauss型求积公式 1、Gauss-Legendre （勒让德）求积公式 2、Gauss-拉盖尔 求积公式 3、Gauss-Hermite求积公式 本节(§4) 问 题 §5 数值微分 本节(§5) 问 题 课程实习报告 2 . Chebyshev（契比晓夫）多项式 是区间[-1，1]上关于权函数 的正交多项式。 而且可以计算 的首项系数为 （1）正交性 具有下面的性质： （3） 在[-1，1]上具有n个零点 （2）三项递推关系 这其实很容易由 计算出来 令 则有 3．Laguere（拉盖尔）多项式 为区间 上关于权函数 的正交多项式。 而且 的首项系数为 。 具有性质： 4．Hermite多项式 是区间 上关于权函数 的正交多项式。 而且 的首项系数为 。 具有性质： Newton-Cotes 型求积公式的构造，利用的是等距节点 关于积分 为了得到代数精度更高的积分公式，我们考虑带有权函数的定积分： 代数精度是 n-1,最多是 n. 得到的积分公式： 得到n-1次插值多项式及误差： 在积分区间[a,b]上任取n个插值节点 两端积分得到： 对于带权定积分 记： 下面我们分析这个公式的代数精度。对于误差式： 在上式中去掉这一项，则得近似积分计算公式及误差： 其中 是 n 阶差商。 如果我们取定 为次数不超过 2n-1 次的多项式，则由差商的性质知道： 是次数不超过 n-1 次的多项式。 既然 是次数不超过 n-1 次的多项式， 则可以由多项式空间中的一组基线性表示。 n-1 次多项式空间中的基很多，我们选取关于权函数 正交的多项式族 作为基函数。这样可以得到： 带入误差式得到： 考虑和式中的每一项积分： 已知 是待定的。 是关于权函数 正交的多项式族，而 n 次多项式 则可以得到： 这时如果我们选取 这样便得到积分公式的误差 也就是这时的积分公式具有 2n-1 阶代数精度。 说明这时的积分公式 精确成立，即 可知，代数插值的节点 正好是正交多项式 的零点。 也就是说对于积分公式 如果我们取插值节点 为关于权函数 正交 多项式 的零点，则所得到的求积公式具有 2n-1 阶代数精度。 这时称上面的公式为Gauss型求积公式，并称 为 Gauss 点。 下面给出构造Gauss型求积公式的步骤。 第三步：求出求积公式的系数： 第一步：求出关于权函数 的正交多项式 第四步：给出 Gauus 型求积公式并计算积分近似值： 第二步：求出 的 n 个零点： 对于积分 构造 Gauss 型求积公式的步骤如下： 构造Gauss型求积公式除需要求出正交多项式外，还需求出正交多项式的零点和求积系数，当 n≥3 时，这些工作均很困难，下面给出几种常用的Gauss型求积公式. 如果[a,b]=[-1，1], ρ(x)=1, 则有 关于定积分 这时，称Gauss型求积公式为Gauss