微积分的数值计算方法数值微分.ppt

华长生制作 * * 第七章 微积分的数值计算方法 7.5 数值微分 7.5 数值微分公式 先看一个实例: 已知20世纪美国人口的统计数据为(单位:百万) 年份 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 人口 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 试计算美国20世纪的(相对)年增长率 一、插值型求导公式 --------(1) 对(1)式两边求导,有 --------(2) --------(2) --------(3) (2)式称为插值型求导公式, (3)式为相应产生的误差 由于公式(2)采取的是n次Lagrange插值多项式,而高次 插值会产生Runge现象,因此实际应用中多采用低次插 值型求导公式 二、低阶插值型求导公式 1.两点公式 --------(4) --------(5) (4)(5)式称为带余项的两点求导公式 即 精度1阶 2.三点公式 --------(6) --------(7) --------(8) (6)(7)(8)式称为带余项的三点求导公式 其中(7)式又称为中点公式,其精度稍高 在分段求导公式中有着重要的地位 精度2阶 3.五点公式 --------(9) 组(9)称为带余项的五点求导公式 精度4阶 综合考虑上述三种公式,可知五点公式的精度最高 可发现 且 并且当步长h越小时,误差会越小 但是不是h越小公式越好呢? 因此实际应用中步长h不要取得太小 两点公式和三点公式的比较图 三、低阶插值型求导公式的分段构造 由于高次插值的Runge现象,数值微分一般采用分段低 次插值公式,常见的就是分段两点、三点和五点公式 1.分段两点求导公式 对于任取的相邻两点 由两点公式有 --------(10) 称(10)式为分段两点公式 2.分段三点求导公式 对于任取的相邻三点 由三点公式,有 --------(11) 称(11)式为分段三点公式 --------(12) 3.分段五点求导公式 由五点公式 例: 回到实例(美国人口) 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 解: 则 先用精度较高的分段五点公式求出节点处的导数值 求增长率必须先求导数 x=21.508 13.458 16.158 11.908 12.267 25.000 27.633 23.075 22.692 28.358 r=dx/dt/x =0.0283 0.0146 0.0152 0.0097 0.0093 0.0166 0.0154 0.0113 0.0100 0.0113 将节点处的增长率作 三次样条插值 节点处增长率的值 每年增长率曲线图 年份 增长率 1900 0.0283 1901 0.0255 1902 0.0230 1935 0.0082 1936 0.0081 1937 0.0083 1953 0.0172 1954 0.0172 1979 0.0100 1980 0.0100 1981 0.0109 1989 0.0111 1990 0.0113 四、样条求导公式 Lagrange插值型求导公式构造比较简单 但由于误差的原因，只能求出节点处的导数 其缺点显而易见 --------(13) * * * *