《微积分》定积分的计算方法.PPT

一、凑微分法 二、换元积分法 三、分部积分法 * * 由牛顿—莱布尼兹公式知: 计算定积分 因用凑微分法计算不定积分时自始至终可以不引入新 变量, 故用凑微分法计算定积分时, 也应自始至终不改变积分限. 下面举例说明. §6.4 定积分的计算方法 第五章知求函数的原函数(即不定积分)的方法有凑微分法、换元法和分部积分法. 因而在一定条件下, 也可用这几种方法来计算定积分 . 的关键在于求出?(x)在[a, b]上的一个原函数F(x); 而由 例10 计算 (1) 在[α,β]上单调连续且具有连续导数; (2) ?(α)= a, ?(β)= b, 则 定理8 若?(x)在[a, b]上连续, 而 x =?(t) 又满足 证 设F(x)是?(x)的一个原函数, ——定积分的换元公式. (3) 求出 在应用换元公式计算定积分时, 应注意以下几个问题: (1) 所选择的代换式x=?(t)必须满足定理中的两个条件; (2) 换元积分的关键是换限.记住“上限对上限,下限对下限”; 不必象求不定积分那样把 ?(t)还原成 x 的函数, 而只须 直接将 t 的上、下限代入相减即可. 后, 例11 当 a 0时, 计算 注1 由几何意义知, 此定积分 即为圆 在第Ι象限的面积. 性质1 设?(x)在[?a, a]上连续, 则 证 (1)若为?(x)偶函数, 则有?(x)=?(? x) 令x = ?t, 则 d x = ?d t, 且 从而 (2)若为?(x)奇函数, 则有?(x)=??(? x) 令x = ?t, 则 d x = ?d t, 且 从而 注2 利用此结论可简化奇函数及偶函数在对称区间上的 定积分的计算. 例12 计算 解 (1) 被积函数为奇函数. 则原式= 0. 令x = tanu, 则 (2) 被积函数为偶函数, 故 例13.设 解 设x = t +1, 则 t = x–1, d x = d t 2004研考题 性质2 设?(x)在[0, 1]上连续, 则 证 因d(uv) = udv + vdu, 两边积分得 注3 注4 用分部积分法计算定积分,因没有引入新的变量,故 在计算过程中自始至终均不变限,u 、 v的选择与不定积 分的分部积分法相同. 定理9 若u = u(x)及v = v(x)在[a, b]上有连续导数, 则