计算方法-数值积分.ppt

第5章 小结 第6次作业 用龙贝格求积公式求定积分 的近似值， 要求写出每一步计算的公式，精度要求10-5，每一步的计算结果都至少保留6位小数。 作业：用龙贝格积分方法求 的近似值，精度要求为 。 解：令 , a=1,b=2。 (1)在[1,2] 上用梯形公式计算 k=0 h=b-a=1, (2)将区间二等分，此时 k=1 h=(b-a)/2=1/2 计算新增节点处的函数值 (3)将区间四等分k=2 , h=(b-a)/4=1/4, 计算新增节点处的函数值 作业：用龙贝格积分方法求 的近似值，精度要求为 。 (4)将区间八等分k=3 , h=(b-a)/8=1/8, 计算新增节点处的函数值 作业：用龙贝格积分方法求 的近似值，精度要求为 。 达到了精度要求，故取T0,3 作为积分的近似值，即 作业：用龙贝格积分方法求 的近似值，精度要求为 。 从复合求积公式的余项表达式看到，计算值的精度与步长h有关，对于给定的精度要求， 从理论上讲，可以根据复合求积公式的余项公式预先确定出恰当的步长h。 但在实际应用中，被积函数可能没有解析表达式或者有解析表达式，但其高阶导数的上界很难估计， 因此比较实用的方法是利用计算机自动地选取步长，其基本思想是用复合求积公式进行数值积分时，将区间逐次分半进行，利用前后两次计算结果来估计误差。 * 例 5.2：利用数据表 xk 0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1 f (xk) 4 3.93846 3.76470 3.50685 3.20000 2.87640 2.46000 2.26549 2 计算积分 这个问题有明显的答案 取n = 8用复合梯形公式 取n=4,用辛普森公式 二、复合求积公式的余项 梯形公式的余项为 对于复合梯形公式则有 若 在[a,b]上连续，则存在 ，使 1、复合梯形公式的余项 所以 由 在[a,b]上连续可知， 在[a,b]上有界，于是存在常数M2，使 ， 1、复合梯形公式的余项 故 2、复合Simpson公式的余项 同理 由 在[a,b]上连续可知， 在[a,b]上有界，于是存在常数M4，使 故 3、复合Cotes公式的余项 由 在[a,b]上连续可知， 在[a,b]上有界，于是存在常数M6，使 同理 故 当 时， ，于是从这些余项公式可以看出， 当时，复合求积公式TN ,SN , CN都收敛于定积分值I，而且收敛速度一个比一个快。 二、复合求积公式的余项 例5.3 用复合梯形公式、复合Simpson公式、复合Cotes公式在取相同节点的情况下，计算定积分 的近似值。设把区间8等分。 解： 把区间[0,1] 8等分， ，共有9个节点， 节点表示为 (k=0,1,2,…,8)。 (1) 用复合梯形公式计算，相当于取 (2) 用复合Simpson 公式计算，相当于取N=4，把区间[0,1]N等分，然后在每个子区间上使用Simpson公式， (3) 用复合Cotes 公式计算，相当于取N=2，把区间[0,1]N等分，然后在每个子区间上使用Cotes公式， 的准确值为0.9460831…… 回顾：复合求积公式的余项 1. 复合梯形公式的余项 2. 复合辛普森公式的余项 3. 复合柯特斯公式的余项 一、变步长梯形公式 1.当把区间[a,b] 等分时，步长 复合梯形公式为 2.当把区间[a,b] 等分时,步长 复合梯形公式为 §5.3 变步长求积公式 改写上式得： 复合梯形公式的递推公式 二、变步长梯形公式算法 1. 输入a,b,精度eps; 2. h=b-a 3. 做循环 ④ ① T1=T ② S=0 ③ 对 x=a+h/2(初值), b(终值) h (步长)做循环 s=s+f(x) ⑤ h=h/2 4.