计算方法第6章 数值积分.ppt

* 6.4 龙贝格求积 某些数值计算方法，是构造一个序列，去逼近精确解。 可以在原序列的基础上构造一个新序列，使它能够更快地收敛于精确值。 对已有近似值线性组合以求更精确的近似值的加速收敛方法为外推方法。 一、外推算法 用外推方法可以对逐次分半复化求积进行加速。 ① 设逐次分半梯形公式求积在逐次分半的过程中，得到的积分值序列：T1,T2,T4,T8,……，梯形加速公式为I≈ 梯形加速公式是龙贝格积分的第1次外推。若记Rn,0= ，n=0,1,2,3,……，用梯形加速公式对Rn,0, Rn+1,0加速后的结果记为Rn,1，那么梯形加速公式可以记为Rn,1= ，n=0,1,2,3,……。 用梯形加速公式对逐次分半复化求积加速的效果与复化辛普生公式相同。等距节点复化辛普生公式与梯形加速公式存在如下对应关系： Rn,1= ，n=0,1,2,3,……。 * 6.4 龙贝格求积 二、龙贝格求积的一般公式 ② 对T1,T2,T4,T8,……进行第1次外推得到的结果，即等距节点复化辛普生公式的求积结果S1,S2,S4S8,……，辛普生加速公式为I≈ 辛普生加速公式是龙贝格积分的第2次外推。把 记为Rn,1，用辛普生加速公式对Rn,1, Rn+1,1加速后的结果记为Rn,2，那么辛普生加速公式可以记为： Rn,2≈ ，n=0,1,2,3,……。 用辛普生加速公式的积分结果与复化柯特斯公式求积结果相同，对应关系为： Rn,2= ，n=0,1,2,3,……。 龙贝格求积第m次外推的一般公式为Rn,m= ，（n=0,1,2,3,……，m=0,1,2,3,……,n） * 6.4 龙贝格求积 可以用T表表示龙贝格求积的计算过程。 加速前 第1次外推 第2次外推 第3次外推 …… R0,0=T1 R0,1=(4R1,0-R0,0)/ (4-1) R0,2=(42R1,1-R0,1)/ (42-1) R0,3=(43R1,2-R0,2)/ (43-1) …… R1,0=T2 R1,1=(4R2,0-R1,0)/ (4-1) R1,2=(42R2,1-R1,1)/ (42-1) …… R2,0=T4 R2,1=(4R3,0-R2,0)/ (4-1) …… R3,0=T8 …… …… 虽然梯形加速公式是复化辛普生公式，辛普生加速公式是复化柯特斯公式，但龙贝格求积一般公式并不是插值型求积公式，也不属于牛顿—柯特斯公式的范畴。例如，柯特斯加速公式对9个节点积分，但是可以验证，柯特斯加速公式具有7次代数精度，比复化9点公式的代数精度低。 * 本章介绍了数值积分的相关知识。 1．数值积分的基础知识 数值积分、代数精度、插值型求积公式的概念和相关定理。 2．牛顿—柯特斯公式 牛顿—柯特斯公式是等距节点代数插值型求积公式。阶次过低的牛顿—柯特斯公式误差较大。随着牛顿—柯特斯公式阶次的增加，代数精度会提高，但是阶次过高的牛顿—柯特斯公式可能不稳定。一般不使用阶次大于7的牛顿—柯特斯公式。较为重要的是梯形公式、辛普生公式和柯特斯公式。 3．复化求积公式 当被积函数曲线比较复杂时，不应使用高阶牛顿—柯特斯公式，应该使用复化求积公式。本章介绍了等距节点复化梯形公式、等距节点复化辛普生公式和等距节点复化柯特斯公式，但更实用的是逐次分半梯形公式求积。 4．龙贝格求积 龙贝格求积不是插值型求积公式。龙贝格求积是对逐次分半梯形公式求积加速的一种外推方法，收敛速度更快。龙贝格求积也是一种实用的数值积分方法。 第6章 数值积分 小结 * * 第6章 数值积分 基础知识 牛顿—柯特斯公式 复化求积公式 龙贝格求积 * 6.1 基础知识 计算连续函数在区间[a,b]上的定积分，可以用牛顿—莱布尼兹（Newton-Leibnitz）公式： 一、问题的提出 =F(b)-F(a) 其中F(x)是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数。 在某些情况下，不适合用牛顿—莱布尼兹公式求定积分： 通过观测等方法得到f(x)上某些离散的点，不知道或不存在f(x)的具体解析表达式。 f(x)的原函数F(x)不能用有限形式表示。 求原函数F(x)较麻烦，但利用计算机等工具，用数值积分的方法求解较方便。数值积分方法求得的结果虽然有误差，但可以控制在要求的误差范围之内。实际工程问题一般不需要理论上无误差的精确解，能得到误差满足要求的近似解就可以了。 数值积分的主要思想，是避开求f(x)的原函数F(x)，只由f(x)上若干离散的点，用对应的数值积分算法，来求f(x)在[a,b]