【金版学案】2014-2015学年高中数学 第四章章末知识整合检测试题 新人教A版必修2.doc

章末知识整合 专题一　圆的方程 圆的方程有两种形式：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，明确了圆心和半径，圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)体现了圆的二元二次方程的特点，在实际求解中常常先求出圆的标准方程，再化简为一般方程，求圆的方程常用的方法为几何法和待定系数法． 　已知△ABC的三个顶点分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，求其外接圆的一般方程． 解析：解法一：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)， 由题意可得 解得 故圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0. 解法二：由题意可求得弦AC的中垂线方程为x＝2，BC的中垂线方程为x＋y－3＝0，由解得∴圆心P的坐标为(2,1)． 圆半径r＝|AP|＝＝5. ∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25， 即x2＋y2－4x－2y－20＝0. 跟踪训练 1．求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的方程． 解析：解法一：∵圆心在y轴上， 设圆的标准方程是x2＋(y－b)2＝r2. ∵该圆经过A、B两点， ∴ ∴ 所以圆的方程是x2＋(y－1)2＝10. 解法二：线段AB的中点为(1,3)， kAB＝＝－， ∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)， 即y＝2x＋1. 由得(0,1)为所求圆的圆心． 由两点间距离公式得圆半径r为 ＝， ∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10. 2．已知△ABC三边所在直线的方程为AB：x＋2y＋2＝0，BC：2x－y－6＝0，CA：x－2y＋6＝0，求△ABC的外接圆的方程． 解析：由题先求出△ABC的三个顶点． 由得B(2，－2)， 由得C(6,6)， 由得A(－4,1)， 又A、B、C都在外接圆上，故设外接圆方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2. 解方程组 得a＝1，b＝，r2＝. ∴所求外接圆方程为(x－1)2＋2＝. 专题二　直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系是高考中的热点内容之一，主要有： 1．直线与圆的三种位置关系． (1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点． 2．直线与圆位置关系的两种判定方法． (1)代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组的解的个数来研究．若有两组不同的实数解，即Δ0，则相交；若有两组相同的实数解，即Δ＝0，则相切，若无实数解，即Δ0，则相离． (2)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断．当dr时，直线与圆相交；当d＝r时，直线与圆相切；当dr时，直线与圆相离． 3．求弦长． 直线与圆相交有两个交点，设弦长为l，弦心距为d，半径r，则有()2＋d2＝r2.即半弦长、弦心距、半径构成直角三角形，利用此关系式可解． 代数法：|AB|＝|x1－x2|(k是AB的斜率，x1，x2是两交点横坐标)． 4．圆的切线． (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为：x0x＋y0y＝r2. (2)圆的切线方程的求法． ①求过圆C外一点P(x0，y0)和圆C相切的切线方程． 几何法：设切线为y－y0＝k(x－x0)，由圆心C到切线距离等于圆的半径r，列方程求k，若有两解即得切线方程，若只有一解，则另一条为x＝x0. 代数法：设切线为y－y0＝k(x－x0)，与圆方程联立，消元，由Δ＝0求出k，讨论方法同上． ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)求圆的切线方程． 圆心C(a，b)，k＝－，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，如果kPC不存在，则k＝0，如果kPC＝0，则切线方程为x＝x0. 解决直线与圆位置关系问题的主导方法是几何法． 　在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4. (1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程； (2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标． 解析：(1)由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为直线l被圆C1截得的弦长为2，所以d＝＝1.由点到直线的距离公式得d＝，从而k(24k＋7)＝0. 即k＝0或k＝－， 所以直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝0. (2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y－b＝k(x－a)(k≠0)，则直线l2的方程为y－b＝－(x－a)．因为圆C1和圆C2的半径相等，且直线l1被圆C