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经济数学基础教学课件作者顾静相teaching_05_03课件.ppt

发布：2016-12-25约1.62千字共26页下载文档

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* 5.3.1 定积分的换元积分法 5.3.2 定积分的分部积分法 5.3 定积分的计算　　定理5.3　设函数　　在区间　　上连续，作变换　　　　，如果　　(1) 　　　在区间　　　上有连续导数　　；　　(2)当　在区间　　上变化时，　　　的值从单调地变到　　　　．则． (5.3.1) 5.3.1 定积分的换元积分法返回 1/25 下一页下一页上一页上一页　　证　因为　　在区间　　上连续，所以　　　在　　上可积．设　　的一个原函数为　　　，由牛顿-莱布尼兹公式，有． 5.3.1 定积分的换元积分法返回 2/25 上一页上一页下一页下一页　　由条件(1)和(2)，函数　　　　　　在区间　　　上可积，其原函数为　　　．这是因为， 5.3.1 定积分的换元积分法返回 3/25 上一页上一页下一页下一页于是，有． 5.3.1 定积分的换元积分法．因此，有返回 4/25 上一页上一页下一页下一页　　例1　计算　　　　　　　．　　解法一　设　　　　，则　　　　　　．当　　　时．；当　　　时，　　．所以，原积分． 5.3.1 定积分的换元积分法返回 5/25 上一页上一页下一页下一页　　解法二． 5.3.1 定积分的换元积分法返回 6/25 上一页上一页下一页下一页　　例2　计算　　　　　　　．　　解． 5.3.1 定积分的换元积分法返回 7/25 上一页上一页下一页下一页　　例3　计算　　　　　．　　解　设　　　　，则　　　　，　　　．当　　时，　　；当　　时，　　．所以． 5.3.1 定积分的换元积分法返回 8/25 上一页上一页下一页下一页　　例4　计算　　解　设　　　　　，则　　　　　　，　　　　　.当　　　时，　　；当　　　时，　　． 5.3.1 定积分的换元积分法返回 9/25 上一页上一页下一页下一页所以． 5.3.1 定积分的换元积分法返回 10/25 上一页上一页下一页下一页　　例5　设函数　　在区间　　　上连续　　　，则　　(2)当　　　为奇函数时，　　　　　． 5.3.1 定积分的换元积分法返回 11/25 上一页上一页下一页下一页　　(1)当　　　为偶函数时，　　　　　　　；　　证　(1)由定积分的可加性，有 .(5.3.2) 　　对于等号右端的第一项，令　　　，则　　　　．且当　　　时，　　；当　　时，　　．于是， 5.3.1 定积分的换元积分法返回 12/25 上一页上一页下一页下一页所以，(5.3.2)式可化为　　(2)类似于(1)的证明，本例的结果可以作为定理使用． 5.3.1 定积分的换元积分法返回 13/25 上一页上一页下一页下一页　　例6　计算　　解 5.3.1 定积分的换元积分法返回 14/25 上一页上一页下一页下一页　　例7　计算　　　　　　．　　解　在区间　　　上，被积函数为偶函数．所以． 5.3.1 定积分的换元积分法返回 15/25 上一页上一页下一页下一页令　　　　，　　　　　，　　　　　　；当　　时，　　；当　　时，　　．于是． 5.3.1 定积分的换元积分法返回 16/25 上一页上一页下一页下一页在上式两端取区间　　上的定积分，有．，即　　设函数　　　　与　　　　在区间　　上有连续导数，　　，　　，则． 5.3.2 定积分的分部积分法返回 17/25 上一页上一页下一页下一页移项得． (5.3.3) (5.3.3)式称为定积分的分部积分公式． 5.3.2 定积分的分部积分法返回 18/25 上一页上一页下一页下一页 *

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