文档详情

经济数学基础教学课件作者顾静相teaching_04_05课件.ppt

发布：2016-12-29约2.92千字共33页下载文档

文本预览下载声明

* 4.5.1 基本概念 4.5.2 可分离变量的一阶微分方程 4.5.3 一阶线性微分方程 4.5 微分方程初步　　定义4.3　含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程．未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程．微分方程中出现的未知函数导数(或微分)的最高阶数，称为微分方程的阶．　　一阶微分方程的一般形式为 . 4.5.1 基本概念返回 1/32 下一页下一页上一页上一页　　例如　　　　　　　，　　　　　　　　　　都是一阶微分方程．　　定义4.4　如果一个函数代入微分方程后，使得方程两端恒等，则此函数称为该微分方程的解． 4.5.1 基本概念返回 2/32 上一页上一页下一页下一页 4.5.1 基本概念返回 3/32 上一页上一页下一页下一页　　例如，　　　　，　　　　都是微分方程　　　的解．其中,　　　　含有一个任意常数，它称为该微分方程的通解，而　　　是　　　时，该微分方程的解，它称为该微分方程的特解．　　一般，如果一阶微分方程的解中含有一个任意常数，则称此解为微分方程的通解，在通解中，如果可确定任意常数的值，所得到的解称为微分方程的特解．为了确定任意常数的值，通常需给出　　　时未知函数对应的值　　，记作　　　　或　　　　．这一条件称为初始条件． 4.5.1 基本概念返回 4/32 上一页上一页下一页下一页　　如果一阶微分方程　　　　　　可以化为 (4.5.1) 的形式，则　　　　　　称为可分离变量的微分方程．微分方程(4.5.1)称为变量已分离的微分方程．　　在(4.5.1)式两边积分，得，(4.5.2) 4.5.2 可分离变量的一阶微分方程返回 5/32 上一页上一页下一页下一页其中　是任意常数．(4.5.2)就是微分方程 (4.5.1)的通解表达式．应注意，不定积分　　　　，　　　　分别表示　　和的一个原函数，任意常数　要单独写出来．返回 6/32 上一页上一页下一页下一页 4.5.2 可分离变量的一阶微分方程　　例1　解微分方程　　　　　　．两边积分，得　　解　原方程可改写为　　　　　　．分离变量，得．，返回 7/32 上一页上一页下一页下一页 4.5.2 可分离变量的一阶微分方程　　记　　　　，则方程的通解为　　　　　．，返回 8/32 上一页上一页下一页下一页即　　　　　　　　　　　． 4.5.2 可分离变量的一阶微分方程　　例2　解微分方程　　　　　　　　　　　．　　解　分离变量，原微分方程化为，两边积分，得，返回 9/32 上一页上一页下一页下一页 4.5.2 可分离变量的一阶微分方程所以，即　　　　　　　　　　　　．得　　　　　　　　　．返回 10/32 上一页上一页下一页下一页 4.5.2 可分离变量的一阶微分方程　　解　原方程可化为　　　　　　　　．分离变量，得两边积分，得，，返回 11/32 上一页上一页下一页下一页　　例3　求微分方程　　　　　　　　　满足初始条件　　　　的特解． 4.5.2 可分离变量的一阶微分方程或的形式．经过代数运算，它们都可以化(4.5.1)的形式．返回 12/32 上一页上一页下一页下一页所以，　　　　是原方程的通解．由初始条件　　　，可得．故所求特解为　　　．可分离变量的微分方程往往具有 4.5.2 可分离变量的一阶微分方程　　例4　设某厂生产某种商品的边际收入函数为　　　　　　　，其中　为该种产品的产出量．如果该产品可在市场上全部售出．求总收入函数　　　．　　解　　　　　　　是变量已分离的微分方程．两边积分得．返回 13/32 上一页上一页下一页下一页 4.5.2 可分离变量的一阶微分方程当　　　，应有　　　　．由此可得　　　．所以，总收入函数为．返回 14/32 上一页上一页下一页下一页 4.5.2 可分离变量的一阶微分方程　　例5　设某水库的现有库存量为　(单位：　　），水库已被严重污染．经计算，目前污染物总量已达　（单位：吨），且污染物均匀地分散在水中．如果现已不再向水库排污，清水以不变的速度　（单位：　/年）流入水库，并立即和水库的水相混合，水库的水也以同样的速度　流出．如果记当前的时刻为　　．返回 15/32 上一页上一页下一页下一页 4.5.2 可分离变量的一阶微分方程　　(1)求在时刻　，水库中残留污染物的数量　　．　　(2)问需经多少年才能使用水库中污染物的数量降至原来的10%. 　　解　(1)根据题意，在时刻　

显示全部

相似文档