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经济数学基础教学课件作者顾静相teaching_05_02课件.ppt

发布：2016-12-28约字共19页下载文档

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* 5.2.1 变上限定积分 5.2.2 微积分基本定理 5.2 微积分基本定理　　设函数　　在区间　　上连续，对于任意的　　　　，　　在区间　　上也连续. 所以函数　　在　　上也可积．定积分　　　的值依赖上限　，因此它是定义在　　上的函数．记，则　　　称为变上限定积分． 5.2.1 变上限定积分返回 1/18 下一页下一页上一页上一页　　定理5.1　如果函数　　在区间　　上连续，则以　为积分上限的定积分，　　的导数等于被积函数在积分上限　处的值．即． . (5.2.1) 5.2.1 变上限定积分返回 2/18 上一页上一页下一页下一页 5.2.1 变上限定积分证　根据导数的定义．　(5.2.2) 而 (积分中值定理)．返回 3/18 上一页上一页下一页下一页　　把上述结果代入(5.2.2)式，并注意到　　　　　时，　　　，得． 5.2.1 变上限定积分　　由定理5.1可知：如果函数　　在区间上连续,则函数　　　　　　　就是　　在区间　　上的一个原函数．返回 4/18 上一页上一页下一页下一页　　例1　计算　　　　　　．　　解　　　　　　　　　　　　　　　　． 5.2.1 变上限定积分返回 5/18 上一页上一页下一页下一页　　解　当　　　时，有． 5.2.1 变上限定积分　　例2　求　　　　　　　　．返回 6/18 上一页上一页下一页下一页　　例3 计算　　　　　．　　解　设　　　，则 5.2.1 变上限定积分返回 7/18 上一页上一页下一页下一页一般地，如果　　可导，则 . 5.2.1 变上限定积分所以，返回 8/18 上一页上一页下一页下一页　　定理5.2　设　　在区间　　上连续，　　是　　的一个原函数，则．　　(5.2.3) 5.2.2 微积分基本定理返回 9/18 上一页上一页下一页下一页　　证　由定理5.1，函数　　　　　　　是　　的一个原函数，而函数　　也是　　的一个原函数．所以　　　与　　在　　　上仅差一个常数　，故　　　　　．于是(5.2.4)式化为 5.2.2 微积分基本定理返回 10/18 上一页上一页下一页下一页 . (5.2.4) 即在(5.2.4)式中令　　　，得，即，　　在上式中令　　　，则，即　　　　　　　　　　　　　　　　．即　　　　　　　　　　　　. 5.2.2 微积分基本定理返回 11/18 上一页上一页下一页下一页　　把　　　　　记为．所以(5.2.3)又可写成．　　定理5.2通常称为微积分基本定理,公式(5.2.3)称为牛顿-莱布尼兹公式．这一定理揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分的联系． 5.2.2 微积分基本定理返回 12/18 上一页上一页下一页下一页　　例4 计算　　　．　　解　　　　　　　　　　　　　　．　　例5 计算　　　　　．　　解　　　　　　　　　　　　　　　　． 5.2.2 微积分基本定理返回 13/18 上一页上一页下一页下一页 *

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