线性代数第三章习题答案2011.ppt
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§3.1 向量的概念及其运算
1. 设
解:
第三章 习题答案
解:
2. 已知
解:
3. 设
解:
4. 写出向量
的线性组合,
其中:
(1)
(2)
(1)
(2)
5. 设向量组
问:
向量 可以由向量
写出其表达式.
线性表示?若可以，
解： 设
即
所以向量 可以由向量
则有:
解方程组得：
线性表示
§3.2线性相关与线性无关
一.判断下列向量组的线性相关性
(1)
解:
由于与对应分量不成比例,
所以与线性无关.
(2)
解:
由于向量组中含有零向量,所以向量组线性相关
(3)
解:
∴向量组线性无关.
(4)
解:
即有
也即有
由于齐次线性方程组的系数行列式
齐次线性方程组有非零解,
由于
方法2:
所以
线性相关.
(5)
因为向量个数大于向量维数，所以向量组线性
解:
相关。
二. 填空题
(1) 已知向量组
线性相关,
则k = __.
解:
则有:
即有:
2
即k =2时,
(2) 设向量组
线性无关,
则a,b,c 必满足关系式_______________.
a·b·c ≠0
解:
要使
线性无关,
则有
所以 a , b , c 需满足a·b·c≠0.
n维单位向量组
(3)
都可由向量组
线性表示,
则r____ n .
解:
因为n维单位向量组
线性无关,
且每个向量都能由向量组
线性表示,
由课本72页推论1知:
三. 选择题
线性无关的充分必要条件是( ).
中必有两个向量的分量对应
(1)向量组
(A) 向量组
不成比例;
(B) 向量组
中不含零向量;
(C) 向量组
中任意一个向量都不能由其
余n-1个向量线性表示;
(D) 存在全为零的数
使
成立.
C
(2) 设
其中
则有( ).
(A) 向量组
是任意实数,
总线性相关;
(B) 向量组
总线性相关;
(C) 向量组
总线性无关;
(D) 向量组
总线性无关.
C
四.
若已知向量组
证明
线性无关,
线性相关.
由于向量组
证:
1、
线性无关,则
线性无关.
2、
线性无关.
(1)
四.
若已知向量组
证明
线性无关,
线性无关.
由于向量组
证:
1、
线性无关,
线性相关.
2、
线性相关.
(2)
令
3、
已知向量组
问
线性无关,
是否线性无关？
解:
向量组
考察向量方程
3、
已知向量组
问
线性无关,
是否线性无关？
当m为偶数时，方程组有非零解，则向量组线性相关
解:
向量组
当m为奇数时，方程组有零解，则向量组线性无关。
五. 设有向量组
问：向量 能否由向量组
唯一线性表示?
解:
由于向量组
线性相关,
则向量
只要向量组
线性无关,
唯一线性表示.
必可由向量组
线性无关.
唯一线性表示.
由于
所以向量组
因此向量 能由
向量组
六.
设已知向量组
向量组
线性相关,
线性表示？证明你的结论。
解:
（1）
,且表达式唯一。
（2）
(1)
根据向量组线性相关性的性质可得：
线性无关，问
能否由
能否由
线性表示？证明你的结论。
线性表示
能由
因为
线性无关，
则
线性无关，
线性相关,
又因为
线性表示
能由
六.
设已知向量组
向量组
线性相关,
线性表示？证明你的结论。
用反证法证明：
解:
（1）
即：
（2）
(2)
代入上式得：
线性无关，问
能否由
能否由
线性表示？证明你的结论。
由（1），可设
即
能由
线性表示
与已知条件矛盾，假设不成立，故命题成立.
一.填空题
1 、若
解:
则向量组
由于
所以向量组
是线性______.
线性无关.
§3.3 向量组的秩
此向量组的部分组
仍线性无关.
应填:无关.
无关
2、 设向量组(Ⅰ)的秩为
向量组(Ⅱ)的秩为
相等
解:
因为二向量组等价,
则它们的秩相等.
应填:相等或
且(Ⅰ) ≌
(Ⅱ)，
二.选择题
1、若向量组
是向量组
的极大
线性无关组,
则下列论断不正确的是 ( ).
解:
由于向量组
是向量组
的极大线性无关组,
显然向量组
线性无关.
而向量组
线性相关,
故
B
此外,
由排除法知选项(B)错误.
故应选(B).
选项(A)正确.
选项(C)正确.
选项(D)也正确.
显然
2、 若向量组
的秩r ，则 （ ）
B
向量组
向量组
线性无关；
线性相关；
存在一个向量
可以由其余向量
线性表示；
任一向量都不能由其余向量线性
表示；
当向量组的秩等于向量个数时，向量组线性无关；
3 、若向量组
都是向
量组
则有( ) .
解:
同一向量组的极大线性无关组所含向量的个数
是相同的.
故选项(C)正确.
C
的极大无关组,
解:
根据向量组的秩与向量个数的关系：
当向量组的秩小于向量个数时，向量组线
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