2013年高考数学一轮精品复习课件：第2章《函数与导数》——定积分与微积分基本定理.ppt

分段函数的定积分 (1)分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成几段定积分的和的形式． (2)分段的标准是使每一段上的函数表达式是确定的，一般按照原函数分段的情况分，无需分得过细． * │ 定积分与微积分基本定理 第14节　定积分与微积分基本定理 考纲点击 　 知识梳理 　 　 某个常数 被积函数 积分变量 被积式 积分下限 积分上限 │知识梳理 　 　 2、 第15讲 │知识梳理 　 　 F(b)－F(a) 原函数 3、 6．常见求定积分的公式 返回目录 考点一 利用微积分定理求定积分 计算下列定积分: (1) x(x+1)dx; (2) (e2x+ )dx; (3) sin2xdx. 【分析】求出被积函数的原函数,用微积分基本定理进行求解,计算 f(x)dx的关键是找到满足F′(x)=f(x)的函数F(x).其中F(x)可将基本初等函数的导数公式逆向使用得到. 返回目录 【解析】 (1)∵x(x+1)=x2+x且( x3)′=x2,( x2)′=x, ∴ x(x+1)dx= (x2+x)dx = x2dx+ xdx= =( ×23-0)+( ×22-0)= . 返回目录 (2)∵(lnx)′= ,(e2x)′=e2x·(2x)′=2e2x, 得e2x=( e2x)′, 所以 (e2x+ )dx= e2xdx+ dx = e2x +lnx = e4- e2+ln2-ln1= e4- e2+ln2. (3)由(sin2x)′=cos2x·(2x)′=2cos2x,得cos2x=( sin2x)′, 所以 sin2xdx= ( - cos2x)dx = dx- cos2xdx = x - ( sin2x) = ( -0) - ( sin2π- sin0)= . 返回目录 返回目录 【评析】计算一些简单的定积分，解题的步骤是：（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；（2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；（3）分别用求导公式找到一个相应的原函数；（4）利用微积分基本定理求出各个定积分的值；（5）计算原始定积分的值. 返回目录 ＊对应演练＊ 返回目录 考点二 分段函数的定积分 计算下列定积分: ; 【分析】对于第(1)小题,应对在区间［0,2π］上 的正、负进行分情况计算；而对于第（2）小题，在0≤x≤2的条件下，对x2-1的正、负情况进行讨论. dx |x-1|dx (2) 【解析】 (1)∵(-cosx)′=sinx, ∴ |sinx|dx= |sinx|dx+ |sinx|dx = sinxdx- sinxdx =-cosx +cosx =-(cosπ-cos0)+(cos2π-cosπ) =4. 返回目录 (2)∵0≤x≤2, x2-1 (1≤x≤2) 1-x2 (0≤x≤1), ∴ |x2-1|dx= (1-x2)dx+ (x2-1)dx =(x- x3) + ( x3-x) =(1- )+( ×23 -2)-( -1)=2. 【评析】 (1)含绝对值的函数实际上就是分段函数. (2)分段函数在区间［a,b］上的定积分可分成几段定积分和的形式,分段的标准就是分段函数的标准. 返回目录 ∴|x2-1|= 返回目录 考点三 利用定积分几何意义求定积分 求定积分 . 【分析】当利用微积分基本定理不能奏效时，需考虑用定积分的几何意义来进行解决. 【解析】设