2013年高考数学总复习3-4定积分与微积分基本定理(理)课件新人教B版.ppt

利用定积分求平面图形的面积 综合应用 高考数学总复习 第3章 导数及其应用 人教 B版 第 四 节 定积分与微积分基本定理(理) 利用定义求定积分 定积分的几何意义 定积分的性质与微积分基本定理 高考数学总复习 第3章 导数及其应用 人教 B版 重点难点 重点：了解定积分的概念，能用定义法求简单的定积分，用微积分基本定理求简单的定积分． 难点：用定义求定积分 知识归纳 1．定积分的定义 如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0x1…xi－1xi…xn＝b，将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ζi(i＝1,2，…，n)，作和式(ζi)Δx＝f(ζi)，当n→∞时，此和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积 分，记作 f(x)dx，即 f(x)dx＝f(ζi)，这里a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．此时称函数f(x)在区间[a，b]上可积． 对定义的几点说明： (1)定积分f(x)dx是一个常数． (2)用定义求定积分的一般方法是： 均匀分割：n等分区间[a，b]； 近似代替：取点ξi[xi－1，xi]； 求和：(ξi)·； 取极限：f(x)dx＝li(ξi)·. (3)定积分f(x)dx的值只与被积函数f(x)及积分区间[a，b]有关，而与积分变量所用的符号无关． 2．定积分的几何意义 当f(x)≥0时，定积分 f(x)dx的几何意义：表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．当y0时，即曲边梯形在x轴的下方时 f(x)dx在几何上表示这个曲边梯形面积的相反数． 一般情况下(如右图)，定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图象以及直线x＝a、x＝b之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号；在x轴下方的面积取负号． 3．定积分的性质 (1) kf(x)dx＝ (k为常数)； (2)[f1(x)±f2(x)]dx＝； (3) f(x)dx＋ f(x)dx＝ (其中acb) k f(x)dx f1(x)dx± f2(x)dx f(x)dx 4．微积分基本定理 一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F ′(x)＝f(x)，那么 f(x)dx＝这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼兹公式．为了方便，我们常常把F(b)－F(a)记成F(x)|， 即 f(x)dx＝F(x)|＝其中F(x)叫做f(x)的一个原函数． F(b)－F(a)． F(b)－F(a)． 一、思想方法 (1)数形结合思想：求曲线围成图形的面积，要画出草图，寻找积分上限和积分下限，以及被积函数的形式． (2)极限的思想：求曲边梯形的面积时，分割，近似代替，求和，取极限，采用的是以直代曲，无限逼近的极限思想． (3)公式法：套用公式求定积分，避免繁琐的运算，是求定积分常用的方法． (4)定义法：用定义求定积分是最基本的求定积分方法． 二、解题技巧 1．(1)用定义求定积分的方法：分割、近似代替、求和、取极限，可借助于求曲边梯形的面积、变力作功等案例，体会定积分的基本思想方法． (2)用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足f ′(x)＝f(x)的函数F(x)，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)． (3)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简，再积分． (4)利用定积分求曲线所围成平面图形的面积，要利用数形结合的方法确定被积函数和积分上下限． 2.由两条直线x＝a、x＝b(a＜b)、两条曲线y＝f(x)、y＝g(x)(f(x)≥g(x))围成的平面图形的面积： S＝[f(x)－g(x)]dx(如右图)． [例1]　用定积分的定义求由y＝3x，x＝0，x＝1，y＝0围成的图形的面积． [解析]　(1)分割：把区间[0,1]等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)．其长度为Δx＝，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，其面积记为ΔSi(i＝1,2，…，n)． (2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，ΔSi＝fΔx＝3··＝(i－1)，(i＝1,2，…，n)． (3)作和：Si＝(i－1)＝[1＋2＋…＋(n－1)]＝·. (4)求极限：S＝(i－1)＝ ·＝. [点评]　要熟练掌握用定义求定积分的步骤． 你能利用定积分的定义求直线x＝1，x＝2，y＝0和曲线y＝x3围成的图形的面积吗？答案：. [例2]　(2010·深圳市调研)曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝所围成的平面区域的面积为(　　) 解