数值分析与2-5(分段低次插值) .ppt

第二章 插值法 §5 分段低次插值 一、多项式插值的问题 二、分段线性插值 三、分段三次Hermite插值 一、 多项式插值的问题 思考： 对函数 与 求插值多项式，是否多项式的次数越高逼近精度越好？ 答案：否！ 对 次数越高逼近精度越好 对 次数越高逼近精度越差(龙格现象) 如果在区间[-5，5]上取11个等距节点 下图对 由拉格朗日插值公式可得到f(x)的10次插值多项式P10(x) 从图中可以看出，P10(x)仅在区间中部能较好地逼近函数f(x)，在其它部位差异较大，而且越接近端点，逼近效果越差。可以证明：当插值基点无限加密时，Pn(x)也只能在很小范围内收敛，这一现象称为龙格(Runge)现象，它表明通过增加基点来提高逼近程度是不宜的。 怎么办? 为提高插值精度 增加节点 多项式次数增加 龙格现象 拟合效果变差 矛盾！ 解决办法：采用分段低次插值 二、 分段线性插值 1.数学描述 设在[a,b]上给出插值条件： fn xn … f1 f0 f(xi) … x1 x0 xi 求一个折线插值函数Ih(x)满足 1°Ih(x)是[a,b]上的连续函数 2°Ih(xk)=fk，k = 0,1,…,n 3°Ih(x)在每个小区间[xk,xk+1]上是线性函数 则称Ih(x)为分段线性插值函数 可否省略？ 2. 表示方法 分段表示 3.分段线性插值法举例 在[-5,5]区间上取5个等分点为插值节点。 解： 分段表示 …… 几点说明： 2°可以预见，但n充分大时，Ih(x)能很好逼近f(x)。 1°分段线性插值多项式是分段函数； 3°Ih(x)有一个缺点：在插值点处有尖点，即一阶导数不连续，不够光滑。 下面的分段三次Hermite插值将克服这一缺点。