分段低次插值.ppt

*关于分段低次插值*第1页，共39页，星期日，2025年，2月5日例：考虑函数，它在上的各阶导数均存在.所构造的拉格朗日插值多项式为取上的个等距节点令则*第2页，共39页，星期日，2025年，2月5日表2-5列出了时的的计算结果及在上的误差图2-5问题：从表和图中的结果你发现了什么？*第3页，共39页，星期日，2025年，2月5日从图上看到，在附近,与偏离很远，这说明用高次插值多项式近似效果并不好.解决办法：不用高次插值，改用分段低次插值.表中，随的增加，的绝对值几乎成倍增加.这说明当时在上是不收敛的.问题：如何克服龙格现象呢？上述现象称为龙格现象。Runge证明了，存在一个常数，使得当时，而当时发散.*第4页，共39页，星期日，2025年，2月5日下图是用Matlab完成的Lagrange插值（附程序）：*第5页，共39页，星期日，2025年，2月5日附：Lagrange插值程序n=11;m=61;x=-5:10/(m-1):5;y=1./(1+x.^2);z=0*x;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.^2);y1=lagr1(x0,y0,x);plot(x,z,‘r’,x,y,‘k:’,x,y1,‘r’)gtext(‘Lagr.’),gtext(‘y=1/(1+x^2)’)title(‘Lagrange’)*第6页，共39页，星期日，2025年，2月5日附：Lagrange插值子程序lagr1:functiony=lagr1(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);s=0.0;fork=1:np=1.0;forj=1:nifj~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end*第7页，共39页，星期日，2025年，2月5日2.5.2分段线性插值由于升高插值多项式的阶数有时并不能达到提高精度的效果,所以实际中往往采用分段插值的思想.分段插值的基本思想是将插值区间划分为若干个小区间,然后在每个小区间上做满足一定条件的低阶插值.*第8页，共39页，星期日，2025年，2月5日设已知节点上的函数值记求一折线函数,满足：在每个小区间上是线性函数.则称为分段线性插值函数.所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近一、分段线性插值*第9页，共39页，星期日，2025年，2月5日由定义可知在每个小区间上可表示为(5.1)若用插值基函数表示，则在整个区间上为(5.2)其中基函数满足条件其形式是(5.3)*第10页，共39页，星期日，2025年，2月5日利用线性插值余项公式,得到分段线性插值的误差估计则(5.4)其中*第11页，共39页，星期日，2025年，2月5日*第12页，共39页，星期日，2025年，2月5日下图是用Matlab完成的分段线性插值（附程序）：*第13页，共39页，星期日，2025年，2月5日附：分段线性插值程序n=11;m=61;x=-5:10/(m-1):5;y=1./(1+x.^2);z=0*x;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.^2);y1=interp1(x0,y0,x);plot(x,z,’r’,x,y,’k:’,x,y1,’r’)gtext(‘Piece.–linea