数值分析插值..doc
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实验题（一） 插值问题
在这个实验中我们通过使用MATLAB软件，用Lagrange插值公式确定函数值，对函数f（x）进行Lagrange插值并且比较f（x）与插值多项式的曲线，从而对插值的Runge现象进行讨论。
实验步骤及相关的图形如下：
一.定义Lagrange插值函数，将其保存在Lagrange.m文件中，具体实现程序编程如下：
function y=Lagrange(x0,y0,x)
n=length(x0);m=length(x);
for i=1:m
z=x(i);
s=0.0;
for k=1:n
p=1.0;
for j=1:n
if j~=k
p=p.*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
end
end
s=s+p*y0(k);
end
y(i)=s;
end
二．建立测试程序，保存在text.m文件中，实现画图.
1．n=2时的程序：
t=-5:0.1:5;
ft=1./(1+t.*t);
t1=-5:5:5;
ft1=1./(1+t1.*t1);
y1=Lagrange(t1,ft1,t);
plot(t,ft,b:,t,y1,r)
图形为：
2． n=4时的程序为：
t=-5:0.1:5;
ft=1./(1+t.*t);
t1=-5:2.5:5;
ft1=1./(1+t1.*t1);
y1=Lagrange(t1,ft1,t);
plot(t,ft,m:,t,y1,r)
图形为：
3． n=6时的程序为：
t=-5:0.1:5;
ft=1./(1+t.*t);
t1=-5:10/6:5;
ft1=1./(1+t1.*t1);
y1=Lagrange(t1,ft1,t);
plot(t,ft,c:,t,y1,m)
图形为：
4． n=8时的程序为：
t=-5:0.1:5;
ft=1./(1+t.*t);
t1=-5:10/8:5;
ft1=1./(1+t1.*t1);
y1=Lagrange(t1,ft1,t);
plot(t,ft,c.,t,y1,r.)
图形为：
5． n=10时的程序为：
t=-5:0.1:5;
ft=1./(1+t.*t);
t1=-5:10/10:5;
ft1=1./(1+t1.*t1);
y1=Lagrange(t1,ft1,t);
plot(t,ft,r:,t,y1,g+)
图形为：
6． n=12时的程序为：
t=-5:0.1:5;
ft=1./(1+t.*t);
t1=-5:10/12:5;
ft1=1./(1+t1.*t1);
y1=Lagrange(t1,ft1,t);
plot(t,ft,b:,t,y1,g)
图形为：
7． n=14时的程序为：
t=-5:0.1:5;
ft=1./(1+t.*t);
t1=-5:10/14:5;
ft1=1./(1+t1.*t1);
y1=Lagrange(t1,ft1,t);
plot(t,ft,c:,t,y1,r)
图形为：
8． n=16时的程序为：
t=-5:0.1:5;
ft=1./(1+t.*t);
t1=-5:10/16:5;
ft1=1./(1+t1.*t1);
y1=Lagrange(t1,ft1,t);
plot(t,ft,r:,t,y1,m)
图形为：
9． n=18时的程序为：
t=-5:0.1:5;
ft=1./(1+t.*t);
t1=-5:10/18:5;
ft1=1./(1+t1.*t1);
y1=Lagrange(t1,ft1,t);
plot(t,ft,m.,t,y1,g)
图形为：
10． n=20时的程序为：
t=-5:0.1:5;
ft=1./(1+t.*t);
t1=-5:10/20:5;
ft1=1./(1+t1.*t1);
y1=Lagrange(t1,ft1,t);
plot(t,ft,b:,t,y1,g+)
plot(t,ft,m.,t,y1,g)
图形为：
三、分析讨论：
由以上图形可以看出，随着n的增大， Lagrange多项式在区间中间对被插值函数的逼近精度越好，但在其它地方对f(x)的逼近却很差。这是因为，当节点无限加密时，在两端的波动越来越大，当然更不能保证在n趋近于无穷大时，一致的接近于，这种现象叫Runge现象。当根据区间[a,b]上给出的节点构造插值多项式近似时，不是人们所认为的的次数n越高逼近的精度越好！正是这个原因，在用多项式插值时不宜选取高次多
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