数值分析插值函数..doc

Newton插值多项式 利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，拉格朗日插值公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，不得不重新计算所有插值基函数，这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，引入了出具有承袭性质的牛顿插值多项式，首先介绍在牛顿插值中需要用到的差商计算。 ◆ 差商 设有函数为一系列互不相等的点,称为关于点的一阶差商,记为,即 1-14) 类似于高阶导数的定义,称一阶差商的差商 为关于的二阶差商,记为.一般地,称 为关于的阶差商,记为 函数关于的零阶差商即为函数在的函数值，。,则对任意正整数,都有 (2)阶差商的线性组合。 其中。 用归纳法可以证明这一性质。 时 (1-16) (3)各阶差商均具有对称性，即改变节点的位置，差商值不变。如 (4)若是次多项式，则一阶差商是次多项式。 事实上，如果是次多项式，则也是次多项式，且。于是可分解为 其中为次多项式。所以 为次多项式。 ◆计算差商 按照差商定义，用两个阶差商的值计算阶差商，通常用差商表的形式计算和存放（见表）。 由于差商对节点具有对称性，可以任意选择两个差商的值计算阶差商。 (1-18) 表1 差商表 xk f(xk) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 … x0 x1 x2 x3 x4 x5 f(x0) f(x1) f(x2) f(x3) f(x4) f(x5) f[x0,x1] f[x1,x2] f[x2,x3] f[x3,x4] f[x4,x5] f[x0,x1,x2] f[x1,x2,x3] f[x2,x3,x4] f[x3,x4,x5] f[x0,x1,x2,x3] f[x1,x2,x3,x4] f[x2,x3,x4,x5] f[x0,x1,x2,x3,x4] f[x1,x2,x3,x4,x5] 【例1】给定函数的函数表 -2 0 1 2 17 1 2 17 写出函数的差商表。 解 差商表如下：(写牛顿插值多项式) 1阶差商 2阶差商 3阶差商 -2 0 1 2 17 1 2 17 -8 1 15 3 7 1 ◆ 牛顿插值(根据差商定义推导牛顿插值多项式) 根据差商定义，把看成[a,b]上一点，可得 左右两端乘（）移项得 ， 二阶差商： ，整理得： ， …… 同理： ． 只要把后一式代入前一式，就得到 其中 　　 　(1-19) ，　　(1-20) = 则 显然, 是至多次的多项式。而由 即得 。这表明满足插值条件，因而它是的次插值多项式。这种形式的插值多项式称为Newton插值多项式。 Newton插值优点：每增加一个节点，插值多项式只增加一项，即 因此便于递推运算。而且Newton插值的计算量小于Lagrange插值。 由插值多项式的唯一性可知，次Newton插值多项式与次Lagrange插值多项式是相等的，即，它们只是表示形式不同。因此Newton余项与Lagrange余项也是相等的，即 由此可得差商与导数的关系 （泰勒系数：） 其中 【例2】对上例的中的，求节点为的一次插值多项式，节点为的二次插值多项式和节点为的三次插值多项式。 解 由上例知，，，，于是有 【例2】用Newton插值公式计算ln11.5。 解 如果仍取点作抛物线插值，按表1计算，结果如下： xi yi=lnxi 一阶差商 二阶差商 11 12 13 2.3979 2.4849 2.5649 0.0870 0.0800 -0.0035 1 x-11 (x-11)(x-12) N2(x)=2.3979+0.0870(x-11)-0.0035(x-11)(x-12) ln11.5≈N2(11.5) =2.3979+0.0870×0.5+0.0035×0.5×0.5 =2.442275 若加节点x=10,14,ln10=2.3026,ln14=2.6391，用lnx四次插值多项式近似，则按表1计算结果如下： xi yi=lnxi 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 10 11 12 13 14 2.3026 2.3979 2.4849 2.5649 2.6391 0.0953 0.0870 0.0800 0.0742 -0.00415 -0.00350 -0.00290 0.00022 0.00020 -0.000005 1 x-10 (x-10)(x-11) 所以 ln11.5≈N4(11.5) =2.3026+0.0953×1.5-0.004×1.5×1.5