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《应用微积分》3.4函数的微分教程.ppt

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科学出版社 http://www. * 主讲教师: 第 3 章 导数与微分 导数概念 求导法则 高阶导数 函数的微分 1 2 3 4 微分的定义 微分的几何意义 函数和、差、积、商的微分法 基本初等函数的微分公式 引例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. 再例如, 既容易计算又是较好的近似值 这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求? 问题 (微分的实质) 定义3.2 1) 为自变量增量 的线性函数。 2) 是比 高阶的无穷小。 , 3) 当 与 是等价无穷小。 事实上: 4) A是与 无关的常数,但与 在点 的值有关。 , y x 很小时 当 dy ? D D 函数 在点 可微的充分必要条件是函数 在点 可导? 且当函数 在 点可微时 其微分是 在点 必要性:设函数 可微? 由定义知: 从而 于是? 当 时? 即 在点 可导? 且 (可微的条件) 定理 3.6 证 充分性: 如果 在点 可导? 即: 存在? 其中 (当 ) 由此有 由极限与无穷小的关系? 即 所以 在点 可微,且 可微, 在点 点导数 是定数,而微分 是 的线性函数。 于是函数 在点 的微分又可记作 区别: 2) 通常把自变量 的增量 称为自变量的微分, ,即 记作 1) 导数与微分的联系:可导 3) 函数 在任意点 的微分,称为函数的微分, ,即 记作 或 从而 函数的导数就是函数的微分 与自变量的微分 因此导数也称为“微商”。 之商, 求函数 在 的微分. 先求函数在任意点 的微分 再求函数当 , 时的微分 求函数 的微分。 因 ,故 解 例1 解 例2 而 所以 如图所示, 是曲线上点 处的切线,设 的倾角为 曲线上另一点为N, 从图可知, 由此可见,函数 的微分 就是过 点的切线的纵坐标的改变量。 与 之差, 的高阶无穷小量. 图中线段 PN是 它是 微分公式 导数公式? 求导法则 微分法则 (1) (1) (2) ( C是常数) (2) (3) (3) (4) (4) 设 ,求 。 因 , 故 求函数 的微分。 求下列函数的微分 ① ② 解 例3 解 例4 微分学所要解决的两类问题: 函数的变化率问题 函数的增量问题 微分的概念 导数的概念 求导数与微分的方法,叫做微分法. 研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学. ★ 微分 思考题 因为一元函数的可微性与可导性是等价的, 所以有人说“微分就是导数,导数就是微分”, 这说法对吗?
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