微积分 第3章 导数与微分.ppt

第三章 导数与微分 * 第三章 导数与微分 * 小结： 导(函)数的计算 先求导函数： 定义 一、 的计算 根据函数构成 二、 的计算 复合函数求导法则 导数的四则运算 反函数求导法则 隐函数 参变量函数 、幂指函数 取对数求导法 利用求导法则 定义 三、 的计算 定义 分段函数 (分段点处用定义) 第三章 导数与微分 * 第三章 导数与微分 * §3.5 微分 一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、微分法则 四、微分的应用 定义 设 y = f(x) 在某U(x0)内有定义, x0 处的自变量增量与函数 增量分别记为?x, ?y . 若存在常数 A，使 第三章 导数与微分 * 第三章 导数与微分 * 一、微分的定义 考察正方形面积 y 当边长自 变化至 时的增量. 例. 时， 为 的同阶无穷小， 为 的高阶无穷小. 则称 f 在点x0处可微，称 A?x 为 f 在点x0处的微分. 记作 或 正方形金属薄片受热后面积的改变量. 定理 f 在点 x0 处可微 f 在点 x0 处可导. 且 3. 第三章 导数与微分 * 4. 对自变量 x 有 dx = ?x , 故 或 微商 2. 若f 在 I 的每点处都可微，则称 f 为 I 上的可微函数. 定义 若增量 则微分 . 例1? 求函数 y ? x 2 当 x 由 1 改变到 1?01 时的微分? 例2? 求函数 y ? ln x 的微分? 注： 1. 微分 是增量 的主要部分（线性主部）. 求微分 实为求导! 第三章 导数与微分 * 第三章 导数与微分 * 二、微分法则 根据求导法则可以得到： ---- 一阶微分的形式不变性 （u 是自变量,或自变量的函数） 分别可微 , 的微分为 一阶微分形式的不变性 详细说明：复合函数的微分法则 则复合函数 结论： 第三章 导数与微分 * 第三章 导数与微分 * 例3. 求 的微分. 例4. 求 的微分. 几何意义 (如图) 三、微分的几何意义 对应的增量, 增量时; 是曲线的纵坐标 就是切线纵坐标 几何意义: 当 x0- x 较小时，可 以“直”(切线) 代“曲”(曲线)? 第三章 导数与微分 * 第三章 导数与微分 * 四、微分的应用（近似计算） 例如： 例6. 试求 sin 29o 的近似值 ( 保留三位有效数字 ). 问题: 已知 f(x0) 的值, 试估计 f 在 x0 附近点 x 处的函数值. 特别地，在原点附近有 例5. 试求 的近似值 . 第三章 导数与微分 * 第三章 导数与微分 * ★ 微分学所要解决的两类问题: 函数的变化率问题 导数的概念 函数的增量问题 微分的概念 求导数与微分的方法, 叫做 微分法. 研究微分法与导数理论及其应用的科学, 叫做 微分学. ★ 导数与微分的联系: 近似计算的基本公式: ★ 解: 设 取 则 例6. 试求 sin 29o 的近似值 ( 保留三位有效数字 ). 例. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立: 说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 注意:数学中的反问题往往出现多值性 , 例如 * 运行时,点击“注意----” 或 “注意”按钮,可显示反问题的例, 运行完后自动返回 第三章 导数与微分 第三章 导数与微分 * * 第三章 导数与微分 § 3.1 引出导数概念的例题 § 3.2 导数概念 § 3.3 导数的基本公式与运算法则 § 3.4 高阶导数 § 3.5 微分 第三章 导数与微分 * 一、变速直线运动的速度 问题：已知 s ? s(t) 为物体运动的路程函数， 求 t0 时刻的瞬时速度. t0 至 t0??t 时间内平均速度: t0 时刻的瞬时速度: §3.1 引出导数概念的例题 第三章 导数与微分 * 割线MN的斜率： 切线MT的斜率： 二、切线问题 问题：求曲线 y = f(x) 在 M(x0? y0) 处的切线的斜率? 第三章 导数与微分 * * §3.2 导数概念 一、导数的定义 二、导数的几何意义 三、左、右导数 四、可导与连续的关系 第三章 导数与微分 * 定义 设函数 y = f(x) 在某U(x0)内有定义. 存在，则称 f 在点x0处可导