高等数学(微积分)课件--§8.3偏导数与全微分.ppt

§8.3偏导数与全微分 一、偏导数 二、全微分 偏导数定义及记法 定义： 偏导数的几何意义 偏导数fx(x0,y0)就是曲面z=f(x,y)被平面y=y0所截得的曲线在点M0(x0,y0, f(x0,y0))处切线M0Tx对x轴的斜率。 偏导数计算 从偏导数定义可见,在增量比的极限过程中,只有一个变量在变,其余变量在该极限中不变,可看作常量,这就和导数一样了。 求偏导数的方法：对某变量求偏导,则将其余变量当作常量,按一元函数求导法计算即可。 例题与讲解 例：求下列偏导数 有关偏导数的几点说明 偏导数记号?z/?x、?z/?y是整体记号,不能拆分; 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求。 偏导数的经济意义(详细展开！) 设需求函数: Q1=Q1(p1,p2)、 Q2=Q2(p1,p2)。 增加经济学例题 偏导数存在与连续的关系 一元函数中在某点可导?连续。 多元函数中在某点偏导数都存在?连续？ 全微分 多元函数偏导数只描述了某个自变量变化而其它自变量不变时所引起的函数变化特征。 为了研究所有自变量同时发生变化时函数的变化特征,需引入全微分概念。 为说清全微分概念,先引入全增量概念。 全增量：若函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义,设点P(x0+?x, y0+?y)是该邻域内任一点,则称这两点函数值之差 ?z = f(x0+?x, y0+?y) - f(x0,y0)为函数在点P0处对应于自变量改变量?x 、?y的全增量。即?z = f(x0+?x, y0+?y) - f(x0,y0)。 全微分的定义 定义：如果函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处的全增量?z可表示为?z = A??x+B??y+??? ；其中A=A(x0,y0) 、B=B(x0,y0)与?x 、?y无关, 可微与连续 微分函数：若函数在某区域各点内处处可微,则称函数在该区域可微。此时,在该区域上就有了微分函数dz=A(x,y)??x+B(x,y)??y。 定理：若函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微,则在点P(x,y)连续。 可微的必要条件 定理1：若函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微,则在点P处偏导数都存在,且点P处有 可微的充分条件 定理2：如果函数z=f(x,y)的偏导函数fx(x,y)、 fy(x,y)在点P(x,y)处连续,则该函数在点P处可微。 连续、偏导、全微分三者关系 归纳本节的三个定理,可知连续、偏导、全微分三者关系： 全微分的习惯表示法 习惯上，总是将自变量的改变量表示为自变量的微分,即?x=dx、 ?y=dy，故记全微分为： 例题与讲解 例：计算z=exy在点(2,1)处的全微分。 解： 例题与讲解 例：求函数z=ycos(x-2y)在 点(?/4，?)处，当?x= ?/4, ?y= ?时的全微分。 解： 全微分在近似计算中的应用 应用的原理：当?x、 ?y很小时, 例题与讲解 例：计算(1.04)2.02的近似值。 解： 小结 １ 多元函数全微分的概念； ２ 多元函数全微分的求法； ３ 多元函数连续、可导、可微的关系． （注意：与一元函数有很大区别） 练习 练习解答 练习解答 练习解答 练习解答4-1 练习解答4-2 * 浙江财经学院本科教学课程 ----经济数学(一) 微积分 偏导数fy(x0,y0)就是曲面z=f(x,y)被平面x=x0所截得的曲线在点M0(x0,y0, f(x0,y0))处切线M0Ty对y轴的斜率。 解： 解： (1) (2) 解 则 表示商品i关于商品j价格pj的边际需求。 而 表示商品i需求量对商品j价格pj的需求价格偏弹性。 通常，当i=j时称直接需求价格偏弹性； 当i?j时称交叉需求价格偏弹性； 但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 /?连续. 即在(?x,?y)?(0,0)时,???是?的高阶无穷小量； 则称?z的线性主部A??x+B??y为函数z=f(x,y)在 点P0(x0,y0)处的全微分,记为dz,即 dz= A??x+B??y 并称函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微。 事实上 证： 总成立, 同理可得 证*: 偏导数都连续 全微分存在 连续 偏导数都存在 由上面三者关系,可以知道求全微分的方法： ⑴先求出所有偏导函数； ⑵判断偏导函数的连续性； ⑶写出全微分的表示式。 注：一般初等函数的偏导函数仍是初等函数,在其定义区域内总连续,故⑵不必写出。 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数： 所求全微分 也可写成 由公式得 [解答] [解答] [解答] [解答] [解答] (1) (2) 2