作业3微积分答案 全微分及其应用.pdf
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作业3全微分及其应用
1.填空题：
(1)=()在点()处偏导数存在是=()在该点可微的必条件；
00
22
(2)函数=在点(2−1)处，当∆=002∆=−001时有全增量∆=,
全微分d=−02.
(3)设=()在点(
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(1)星形线cossin;(2)椭圆
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d−d
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3′3
1）函数yCx是微分方程y−y0的通解。
x
lnx+C
2）微分方程2y′=−y的通解是ey。
xey1xe
x
3）已知二阶线性齐次方程的两个解为y1ex,y2xex，则该方程为
′′′
y−2y+y0。
4）方程ydx+x−e−ydy0的通解为xy+e−yC。
()
5方程y′′+y2cosx的特解形式为yx(acosx=+bsinx)。
2、求下列微分方程的通解
1）22
ydx+xdyxydy
2
y
2
yxy
′
解：原方程可化为y2，令u=⇒yxu
xy−xy−1x
x
2
u
′
u+xu
u−1
变量分离两边积分得
u−11
∫du∫dx=
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d
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d
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(1)dd
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1）函数fx,y9=−x2−y2的定义域是x,yx2+y2≤9，值域是0,3。
(){()}[]
2xy22
+≠
22xy022
2）函数f(x,y)x+y的连续范围是{(x,y)x+y≠0}。
22
0x+y0
1
3）函数z在x,yxkπ,k=∈ZUx,yykπ,k=∈Z处间断。
{()}{()}
sinxsiny
2、画出下列函数的图形
1）fx,y1=−x2−y2
()
解：此图形是上半球面
fx,y63x2y
2）()=−−
解：此图形是空间平面
3）f(x,y)2x2=+y2
解：此图形是椭圆抛物面
3、求下列极限
ln(x+ey)
1）lim
x→122
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1、填空题
22dyx+y
1）已知−+，则。
xy2xy0
dxy−x
22ydyy+x
2）已知lnx+yarctan，则。
xdxx−y
22dyd2y2
3）已知x−xy+2y+x−y−10，则0,10，20,1−。
dx()dx()3
11
4）已知x+y+zez，则dzzdx+zdy。
e−1e−1
5）已知zfxyz,z=−y，其中具有一阶连续偏导数，则
()f
′′′
yzfdx+(xzf−f)dy
112
dz。
′′
−−
1xyf1f2
′′′′′′′
分析：dzfdxyz=+fdz−yyzfdx=+xzfdy+yxfdz+fdz−fdy
1()2()11122
2
∂z
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1、填空题
1）zf(x,y)在点(x0,y0)处偏导数存在是zf(x,y)在该点可微的必要条件。
2）函数23在点2,−1处，当时有全增量
zxy∆=∆=−
()x0.02,y0.01
∆z−0.2040402004；dz−0.2。
3）设zfx,y在点x,y处的全增量为，全微分为，则zfx,y在点
()(00)∆zdz()
(x,y)处全增量与全微分的关系式为∆zdz=+o∆x2+∆y2。
00(()())
y11
4）uarctan在1,1处的du−dx+dy。
()
x22
5）u(siny)cosx，则du
cosxcosx−1
−sinx(siny)ln(siny)dx+cosx(
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1、填空题
x
1）设=+−，则fx,2。
fx,yxy2arcsin()1
()()x
y
2
x∂fy∂f−xy
2）设fx,y，则，。
()2233
x+y∂x222∂y222
(x+y)(x+y)
3
2x∂u
3）设uxz=+sin，则0。
y∂∂∂xyz
x2+y2
zπ
4）曲线在点2,4,5的切线与轴正向的倾角为。
Γ:4()Ox
y44
22
z∂u∂u∂u∂u∂u
2、设uxy，求,,,2,
∂x∂y∂z∂x∂∂xy
∂uz∂uz∂uz
解：zyyz−1yz
yx,xlnx⋅zy,xlnx=⋅ylny
∂x∂y∂z
22
∂uz∂uzz
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微积分作业与答案作业4.pdf
1、填空题
uy∂z
1）设zevu，vy−x，则
cos,32
x∂x
y
xy
ecos3y2x2sin3y2x。
−2(−+)(−)
x
2）设uft,tx+y，则duf′tdx+f′tdy。
()()()
z∂uzz−1
3）设u(x=−y,zxy，则y(x−ylnx−y+zx−y。
))()()
∂x
2dz−sinx
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dx2cosx
2、求下列函数的偏导数
x∂u∂u
1）设ufx,，其中具有连续的偏导数，求,。
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∂xy∂yy2
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微积分及其应用题集.docx
微积分及其应用题集
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定义(极大值、极小值)
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0
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上凹与下凹
y上凹
上凹是当坡度增大：
坡度
f(x)增大
x
y坡度
减小
下凹是当坡度减小：下凹
f(x)x
若坡度不变（直线）呢？两者都是！见脚注。
更多例子：
上凹
也称“凸”
或“下凸”
下凹
也称“凹”
或“上凸”
下凹也叫做凹或上凸
上凹也叫做凸或下凸
寻找在哪里……
通常我们需要找曲线在哪里上凹或下凹：
上凹下凹
定义
重点是连接曲线上任何两点的直线不会与曲线交叉：
x
x
我们为这个来生成一个公式！
首先，直线：以任何两个值a和b（在目前考虑的区间里）：
y
f(b)
f(a)
x
ab
在a和b之间，x可以用这个公式来表达（t的值是从0到1）：
x=ta+(1−t)b
当t