2014高考数学专题直线与椭圆的位置关系.docx

多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！  DATE \@ yyyy-M-d 2017-4-23 PAGE   PAGE \* MERGEFORMAT 10 直线和椭圆的位置关系 一、要点精讲 1．直线和椭圆的位置关系有三种：相交、相切、相离. 2．直线与椭圆相交所得的弦长公式 设直线交椭圆于，， 则 所以，或． 3．直线与椭圆位置关系的判定方法 判定方法——代数法 将直线方程与椭圆方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程，判断方程解的情况： △＞0，方程有两个不同的解，则直线与椭圆相交； △＝0，方程有两个相等的解，则直线与椭圆相切； △＜0，方程无解，则直线与椭圆相离． 4．研究直线与椭圆位置关系的通性通法 解决直线与椭圆位置关系时，一般通过直线与椭圆交点个数进行研究，用一元二次方程的判别式，根与系数的关系，求根公式等来处理问题，还要注意数形结合思想的运用，通过图形的直观性帮助分析、解决间题． 二、基础自测 1. 椭圆的右焦点到直线的距离是 A. B. C. D. 2. 直线过椭圆的一个焦点，则b的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 方程表示的是椭圆的 （A）上半部分 （B）下半部分 （C）左半部分 （D）右半部分 4. 直线与椭圆只有一个公共点，则 . 5. 已知椭圆和椭圆外一点，过这点任意引直线与椭圆交于A,B两点，求弦AB的中点P的轨迹方程． 三、典例精析 题型一：直线与椭圆的交点问题 1. 已知椭圆及直线. ⑴ 当直线和椭圆有公共点时，求实数的取值范围； ⑵ 求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程． 2. 已知定点A(-2, -1)，B(1, 2)，线段AB与椭圆有公共点，求的取值范围． 题型二：求椭圆方程问题 3. 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线与该椭圆相交于P和Q，且，，求椭圆方程． 4．（2011天津）已知椭圆的离心率．连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆相交于不同的两点．已知点的坐标为． 若,求直线的倾斜角; 题型三：直线与椭圆的相交弦问题 5．（2013新课标）已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于 两点.若的中点坐标为,则的方程为 （　　） A． B． C． D． 解:设，则=2，=－2， ① ② ①－②得， ∴===，又==，∴=，又9==， 解得=9，=18，∴椭圆方程为，故选D. 6. 在椭圆中，求过点M(2,1)且被这点平分的弦所在的直线方程和弦长． 7. 椭圆与直线相交于两点，线段AB的中点为M，求、的值． 8．（2013上海春）已知椭圆的两个焦点分别为、,短轴的两个端点分别为 (1)若为等边三角形,求椭圆的方程; (2)若椭圆的短轴长为,过点的直线与椭圆相交于两点,且,求直线的方程. 解](1)设椭圆的方程为. 根据题意知, 解得, 故椭圆的方程为. (2)容易求得椭圆的方程为. 当直线的斜率不存在时,其方程为,不符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线的方程为. 由 得. 设,则 因为,所以,即 , 解得,即. 故直线的方程为或. 9.（2011陕西）设椭圆: 过点（0，4），离心率为． （Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被所截线段的中点坐标． 【分析】（1）由椭圆过已知点和椭圆离心率可以列出方程组，解方程组即可，也可以分步求解；（2）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；然后利用中点坐标公式求解． 10．椭圆的两个焦点、，点P在椭圆C上，且，|，. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）若直线过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线的方程。 解：(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以，a=3. 在Rt△PF1F2中，故椭圆的半焦距c=, 从而b2=a2－c2=4, 所以椭圆C的方程为＝1. (Ⅱ)法一: 设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）. 由圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M（－2，1）. 从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0. 因为A，B关于点M对称. 所以