专题01 直线与椭圆的位置关系(解析版).docx
专题01直线与椭圆的位置关系
测试时间：120分钟满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．椭圆与直线的位置关系是（????）
A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定
【解析】直线过定点在椭圆内，故直线与椭圆相交.故选:B.
2．在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆上，且直线，的斜率之积为，则（????）
A．1 B．3 C．2 D．
【解析】因为点，在椭圆上，所以，
因为直线，的斜率之积为，所以，
可得，化简得，
则.故选：A.
3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（????）．
A． B． C． D．
【解析】将直线与椭圆联立，消去可得，
因为直线与椭圆相交于点，则，解得，
设到的距离到距离，易知，则，，
，解得或（舍去），故选：C.
4．已知实数x，y满足：，则的最大值为（????）
A． B．2 C． D．5
【解析】令，则直线与有交点情况下，直线在x轴上截距最大，
假设直线与椭圆相切，则，即，
所以，可得，即，
要使在x轴上截距最大，即.故选：B.
5．已知椭圆方程为，过平面内的点作椭圆的两条互相垂直的切线，则点的轨迹方程为（????）
A． B．
C． D．
【解析】设点，当切线斜率存在且不为0时，设切线方程为，
联立，消去得，
则，
即，两切线垂直故其斜率之积为-1，
则由根与系数关系知，即.
当切线斜率不存在或为0时，此时点坐标为，，，，满足方程，
故所求轨迹方程为.故选：A.
6．已知椭圆的右焦点为，离心率为，过坐标原点作直线交椭圆于两点，若，则直线的方程为（????）
A． B．
C． D．
【解析】由椭圆离心率为，知，
由题意可设，则，
由可得，即，
结合可得，故，则，
所以直线的方程为，故选：B
7．若直线被圆所截的弦长不小于2，则l与下列曲线一定有公共点的是（????）
A． B．
C． D．
【解析】由题意，圆的圆心为，半径为.
设直线方程为，直线到圆心的距离为，由弦长公式得，所以.
由点到直线的距离公式得，，即.
对于选项A，直线到该圆圆心的距离为，
取，满足条件，而，直线与圆没有公共点，故A排除；
对于选项B，当时，对于直线有，，，
联立椭圆方程得，所以必有公共点；
当时，联立直线与椭圆方程得，
，所以必有公共点；故B正确；
对于选项C，联立直线与抛物线方程得，
若时，则，有解；
若时，，取，则，方程无解，此时无公共点，故C错误；
对于选项D，当时，对于直线有，，，
联立双曲线方程得，
取，则直线：，与双曲线不存在公共点，故D排除.
故选：B.
8．在椭圆上求一点，使点到直线的距离最大时，点的坐标为（????）
A． B．
C． D．
【解析】如下图所示：
??
根据题意可知，当点在第三象限且椭圆在点处的切线与直线平行时，
点到直线的距离取得最大值，可设切线方程为，
联立，消去整理可得，
，因为，解得，
所以，椭圆在点处的切线方程为，
因此，点到直线的距离的最大值为,联立，
可得点的坐标为.故选：B.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．在平面直角坐标系中，已知直线：，椭圆：，则下列说法正确的有（????）
A．恒过点
B．若恒过的焦点，则
C．对任意实数，与总有两个互异公共点，则
D．若，则一定存在实数，使得与有且只有一个公共点
【解析】方程可化为，所以直线恒过点，A正确；
设椭圆的半焦距为，则点的坐标可能为或，
若直线恒过点，则，故，矛盾，
直线恒过点，则，故，所以，B错误；
联立，消可得，，
由对任意实数，与总有两个互异公共点，
可得方程有个不相等的实数解，
所以，所以，所以，C正确；
因为，
所以时，则，即时，
可得，此时方程组有且只有一组解，故与有且只有一个公共点，D正确.
故选：ACD.
10．直线，与椭圆共有四个交点，它们逆时针方向依次为，则（????）
A．
B．当时，四边形为正方形
C．四边形面积的最大值为
D．若四边形为菱形，则
【解析】A选项，可以看出，由椭圆的对称性知四边形是平行四边形，
设，，联立与得，，其中，解得，A正确.
B选项，由韦达定理得，，
，
平行四边形的高即为两平行线之间的距离，
当时，，，故，B错误.
C选项，，
设，，，
当且仅当，即时，等号成立，C正确.
D选项，若四边形是菱形，则，即
故，解得，，D正确.
故选：ACD
11．为椭圆的两个焦点，过的直线l与椭圆交于A，B两点，则的内切圆半径的r值可以为（????）
A． B． C． D．
【解析】由已知可得，，，
如图，根据椭圆的定义可得，的周长为，
所以.设，，设，，
则.
由已知可得，直