2012年高考数学《直线和圆》专题学案：直线与直线的位置关系.doc

第2课时 直线与直线的位置关系 （一）平面内两条直线的位置关系有三种________． 1．当直线不平行坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定 直线 条件 关系[来源:学.科.网Z.X.X.K] l1：y＝k1x＋b1 l2：y＝k2x＋b2 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 平行 重合 相交 2．当直线平行于坐标轴时，可结合图形判定其位置关系． （二）点到直线的距离、直线与直线的距离 1．P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0 的距离为______________． 2．直线l1∥l2，且其方程分别为：l1：Ax＋By＋C1＝0 l2：Ax＋By＋C2＝0，则l1与l2的距离为 ． （三）两条直线的交角公式 若直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，则 1．直线l1到l2的角θ满足 ． 2．直线l1与l2所成的角(简称夹角)θ满足 ． （四）两条直线的交点：两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数． （五）五种常用的直线系方程. ① 过两直线l1和l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含l2). ② 与直线y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m (m≠b). ③ 过定点(x0, y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)及x＝x0. ④ 与Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程设为Ax＋By＋m＝0 (m≠C). ⑤ 与Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程设为Bx－Ay＋C1＝0 (AB≠0). 例2. 已知直线l经过两条直线l1：x＋2y＝0与l2：3x－4y－10＝0的交点，且与直线l3：5x－2y＋3＝0的夹角为，求直线l的方程． 解：由解得l1和l2的交点坐标为(2，－1)，因为直线l3的斜率为k3＝，l与l3的夹角为，所以直线l的斜率存在. 设所求直线l的方程为y＋1＝k(x－2)． 则tan＝＝＝1 k＝或k＝－，故所求直线l的方程为y＋1＝－(x－2)或y＋1＝(x－2)即7x＋3y＋11＝0或3x－7y－13＝0 变式训练2. 某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l，且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为,tan=.试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）？ 解 如图所示，建立平面直角坐标系， 则A（200，0），B（0，220），C（0，300）. 直线l的方程为y=(x-200)tan,则y=. 设点P的坐标为（x,y），则P（x, ）(x＞200). 由经过两点的直线的斜率公式 kPC=, kPB=. 由直线PC到直线PB的角的公式得 tan∠BPC= = (x＞200). 要使tan∠BPC达到最大，只需x+-288达到最小，由均值不等式 x+-288≥2-288, 当且仅当x=时上式取得等号. 故当x=320时，tan∠BPC最大. 这时，点P的纵坐标y为y==60. 由此实际问题知0＜∠BPC＜,所以tan∠BPC最大时，∠BPC最大.故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC最大. 例3. 直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求点C的坐标并判断△ABC的形状． 解：因为直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线，所以CA、CB所在直线关于y＝2x对称，而A(－4, 2)关于直线y＝2x对称点A1必在CB边所在直线上 设A1(x1，y1)则 得 即A1(4, －2) 由A1(4, －2)，B(3, 1)求得CB边所在直线的方程为：3x＋y－10＝0 又由 解得C(2, 4) 又可求得：kBC＝－3，kAC＝ ∴kBC·kAC＝－1，即△ABC是直角三角形 变式训练3.三条直线l1：x+y+a=0，l2：x+ay+1=0，l3：ax+y+1=0能构成三角形，求实数a的取值范围。 解：a∈R且a≠±1，a≠-2（提示：因三条直线能构成三角形，故三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行且三线不共点。 （1）若l1、l2、l3相交于同一点，则l1与l2的交点（-a-1，1）在直线l3上，于是a(-a-1)+1+1=0，此时a=1或a= -2。 （2）若l1∥l2，则-1 = - ，a=1。 （3）若l1∥l3，则-1 = - a，a=1。 （4）若l2∥l3，则- = -a，a= ±1。） 例4. 设点A(－3，5)和B