高考100题直线与圆专题五 直线与圆的位置关系.docx

题源探究·黄金母题

5【例1】已知过点M(?3,?3)的直线l被圆x2?y2?4y?21?0所截得的弦长为4

5

，求直线l的方程．

【解析】将圆的方程写成标准形式，得x2?(y?2)2

∴圆心的坐标是(0,?2)，半径r?5．设直线l的方程为y?3?k(x?3)，即kx?y?3k?3?0，

∴圆心到直线l的距离为

52?(42

52?(4

2

5)2

?25，

k2?15d? ?

k2?1

5

解得k??1或k?2，

2

∴直线l的方程为y?3??1(x?3)或y?3?2(x?3)，

2

即x?2y?9?0或2x?y?3?0．

考场精彩·真题回放

3【例2】【2016年全国新课标3卷理】已知直线l：mx?y?3m?

3

?0与圆x2?y2

?12交于A,B两点，

3过A,B分别做l的垂线与x轴交于C,D两点，若AB?2

3

，则|CD|???．

【答案】4

3【解析】因为|AB|?2

3

3，且圆的半径为2

3

，所以圆

3心(0,0)到直线mx?y?3m?

3

R2?(|

R2?(|AB|)2

2

?0的距离为

3|

3

m2?1?3，则由 ?

m2?1

m??

，代入直线l的方程，得y?

333 3

3

3

x?2 ，所

3以直线l的倾斜角为30?．由平面几何知识知在

3

梯形ABDC中，|CD|? |AB| ?4．

cos30?

【例3】【2015年重庆高考理】已知直线l：x?ay?1?0（a?R）是圆C：

x2?y2?4x?2y?1?0的对称轴.过点A(?4,a)作圆C的一条切线，切点为B，则AB?（ ）

210A．2 B．4 C．6 D．2

2

10

【答案】C

【解析】圆C标准方程为(x?2)2?(y?1)2

圆心为C(2,1)，半径为r?2，因此

?4，

AC2?r22?a?1?1?0，a??1，即A(?4,?1)，AB

AC2?r2

(?4?2)

(?4?2)2?(?1?1)2?4

【例4】【2014湖北高考卷】直线l：y?x?a和l：y?x?b将单位圆C：x2?y2

1 2

?1分成长度相等的

四段弧，则a2?b2? .

【答案】2

【例5】【2016年全国新课标Ⅰ卷理】设圆x2?y2?2x?15?0的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．

证明EA?EB为定值，并写出点E的轨迹方程；

1设点E的轨迹为曲线C，直线l交C

1

1

于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，

求四边形MPNQ面积的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）[12,8 3)．

【解析】（1）因为|AD|?|AC|，EB//AC，

故?EBD??ACD??ADC，所以|EB|?|ED|，故|EA|?|EB|?|EA|?|ED|?|AD|．

又圆A的标准方程为(x?1)2

y2

?16，

从而|AD|?4，所以|EA|?|EB|?4．由题设得A(?1,0)，B(1,0)，|AB|?2，