第八讲二维随机变量.ppt

四、 二维均匀分布 故 当 时, (3) 第一节 二维随机向量 二维随机变量的分布函数 二维离散型随机向量 二维连续型随机向量 课堂练习 从本讲起，我们开始第三章的学习. 一维随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 . 它是第二章内容的推广. 到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述. 在打靶时,命中点的位置是由一对随机变量(两个坐标)来确定的. 飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量(三个坐标)来确定的等等. 一般地, 设 是一个随机试验, 它的样本空间是 设 是定义在 上的随机变量, 由它们构成的一个 维向 量函数 叫做 维随机向量或 维随机 变量. 以下重点讨论二维随机变量. 请注意与一维情形的对照 . X的分布函数 一维随机变量 称二元函数 为二维随机变量 的分布函数, 或者称为随机 变量 和 的联合分布函数. 定义1 设 是二维 随机变量, 一、二维随机变量的分布函数 将二维随机向量 看成是平面上随机点, 那么,分布函数 在点 处的函数值就是随机点 落在下面左图所示的,以点 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率. 分布函数的函数值的几何解释 注1 随机点 落在矩形域 内的概率 注2 即F(x, y) 关于x, y是右连续的。 4. 对任意的 ， 下述不等式成立： 或随机变量X和Y 的联合分布律. k=1,2, … 离散型 一维随机变量X X 的分布律 k=1,2, … 定义2 有限对或可列无限多对,则称 是二维离散型随机变量. 设二维离散型随机变量 可能取的值是 记 如果二维随机变量 全部可能的取值为 称之为二维离散型随机变量 的分布律, 二、二维离散型随机变量 也可用表格来表示随机变量X和Y 的联合分布律. 二维离散型随机变量 的分布律具有性质 二维离散型随机变量 的联合分布函数为： 例1　把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 . 解 ( X, Y ) 可能的取值为 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3) P{X=0, Y=3} P{X=1, Y=1} P{X=2, Y=1} P{X=3, Y=0} =3/8 =3/8 解 例2 例3 解 故 ( X , Y ) 的概率分布为 例3 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2, 从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每 次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X, Y 分 别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 , 求 ( X, Y ) 的分布律与分布函数. ( X, Y ) 的可能取值为 解 故 ( X , Y ) 的分布律为 下面求分布函数. 所以( X ,Y ) 的分布函数为 连续型 一维随机变量X 概率密度函数 三、二维连续型随机变量 定义3 对于二维随机变量 的分布函数 则称 是连续型的二维随 机变量 , 函数 称为二维 （X,Y )的概率密度 , 随机变量 存在非负的函数 如果 任意 有 使对于 称为随机变量 X 和 Y 的联合概 率密度. 或 （X,Y）的概率密度的性质 : 在 f (x,y)的连续点 , 表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的全部体积等于1. 注1: 注2: 若 f (x,y)在点(x,y)连续，则当 很小时有, 注3: 例4 设(X,Y)的概率密度是 (2) 求分布函数 (3) 求概率 . (1) 求常数A; 解 (1) 由于 因此A=2. 积分区域 区域 解 (2) 当 时,