第3节二维随机变量及分布.ppt

多维随机变量及其分布 为什么引入多维随机变量 在实际中，对某些随机变量的结果需要同时 用两个或两个以上的随机变量来描述。 二维随机变量定义 设 E 是一个随机试验，样本空间是 S={e}，设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 S 上的随机变量。由它们构成的一个向量(X, Y) ，称为二维随机向量（或二维随机变量）。 注 意 事 项 例 子 对于二维随机变量主要研究哪些内容 （X，Y）的分布 X的分布 Y的分布 X与Y之间的关系 二维随机变量的分布函数 设(X, Y)是二维随机变量，(x, y)?R2, 则称F(x,y)=P{X?x, Y?y}为(X, Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。 二维离散型随机变量 若二维随机变量(X, Y)全部可能取到的值为有限对或可列无限多对，(xi, yj), (i, j＝1, 2, … )，则称(X, Y)为二维离散型随机变量。 若二维离散型随机变量(X, Y) 取 (xi, yj)的概率为pij,则称 P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … )，为二维离散型随机变量(X, Y)的分布律，或随机变量X与Y的联合分布律.记为  (X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … ) 二维连续型随机变量 定义：对于二维随机变量 ( X,Y ) 分布函数 F (x , y )，如果存在非负函数 f (x , y )，使得对于任意的 x，y有： 边缘分布 边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度 什么是边缘分布 二维随机变量（X，Y）作为一个整体有其分布函数，而X和Y各自也分别具有分布函数，分别记为 离散型随机变量的边缘分布律 连续型随机变量的边缘概率密度 二维均匀分布几何意义 结 论 1: * * * * * * * * * X(e) Y(e) S e 考察某地区的气候状况，令X： 该地区的温度；Y：该地区的湿度； （X，Y）为二维随机变量 考察煤质，令X：含硫量；Y：灰分， （X，Y）为二维随机变量 几何意义：分布函数F(x0,y0) 表示随机点(X,Y)落在区域 中的概率。如图阴影部分： 则称 ( X,Y ) 是连续型二维随机变量，函数 f (x , y ) 称为二维随机变量 ( X,Y )的概率密度，或称为 X 和 Y 的联合概率密度。 概率密度的性质： 40 设 G 是平面上的一个区域，点 ( X,Y )落在 G 内 的概率为： 在几何上 z = f (x , y) 表示空间的一个曲面，上式 即表示 P{(X,Y)?G}的值等于以 G 为底，以曲面 z = f (x , y)为顶的柱体体积. 称为二维随机变量关于X和Y的边缘分布函数。 记为 记为 关于X的边缘概率密度 关于Y的边缘概率密度 设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随机变量（ X,Y）具有概率密度 则称（X,Y）在G上服从均匀分布. 向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的位置无关. 则质点的坐标（ X,Y）在G上服从均匀分布. 例 D y x