2019届高考数学大一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和课件 理 北师大版.ppt

证明　由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2， 得a1＋a2＝S2＝4a1＋2. ∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3. 由①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)， ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2). ∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)， 故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列. 解答 (2)求数列{an}的通项公式. 解　由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1， 故an＝(3n－1)·2n－2. 解　由已知得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n. ∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＋1，∴an＋1＝2an＋1， ∴an＋1＋1＝2(an＋1)，n≥2， (*) 又a1＝1，S2＝a1＋a2＝2a1＋2，即a2＋1＝2(a1＋1)， ∴当n＝1时(*)式也成立， 故{an＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1. 若将本例中“Sn＋1＝4an＋2”改为“Sn＋1＝2Sn＋(n＋1)”，其他不变，求数列{an}的通项公式. 引申探究 解答 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. (2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证. 思维升华 跟踪训练 (2016·全国Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； 证明 证明　由题意得a1＝S1＝1＋λa1， 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan，由a1≠0，λ≠0得an≠0， 解答 解得λ＝－1. 1.(2017·郑州三模)已知等比数列{an}，且a6＋a8＝4，则a8(a4＋2a6＋a8)的值为 A.2 B.4 C.8 D.16 题型三　等比数列性质的应用 自主演练 解析 答案 √ 2.(2017·云南省十一校跨区调研)已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于 A.40 B.60 C.32 D.50 解析　由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60，故选B. 解析 答案 √ 思维升华 等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类： (1)通项公式的变形. (2)等比中项的变形. (3)前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口. 典例 (12分)已知首项为 的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N＋)，且 －2S2，S3,4S4成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式； 分类讨论思想在等比数列中的应用 思想方法 思想方法指导 思想方法指导 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； (2)求出前n项和，根据函数的单调性证明. 规范解答 规范解答 (1)解　设等比数列{an}的公比为q， 因为－2S2，S3，4S4成等差数列， 所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4， 课时作业 1.(2017·福建漳州八校联考)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则 等于 A.－3 B.5 C.－31 D.33 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 √ 解析　设等比数列{an}的公比为q，则由已知得q≠1. 2.(2017·武汉市武昌区调研)设公比为q(q0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1等于 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，得a3＋a4＝3a4－3a2， 解得a1＝－1，故选B. 3.(2017·张掖市一诊)已知等比数列{an}中，a3＝2，a4a6＝16，则 的值为 A.2 B.4 C.8 D.16 √ 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(2017·山西太原三模)已知数列{an}的前n项和为