2019届高考数学（北师大版文）复习讲义：第六章　数列+第3讲　等比数列及其前n项和.3+Word版含答案.doc

§6.3　等比数列及其前n项和 最新考纲 考情考向分析 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式． 2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 3.了解等比数列与指数函数的关系. 以考查等比数列的通项、前n项和及性质为主，等比数列的证明也是考查的热点．本节内容在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查. 1．等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1(a1≠0，q≠0)． 3．等比中项 如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝±，称G为a，b的等比中项． 4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N＋)． (2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an. (3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． 5．等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn， 当q＝1时，Sn＝na1； 当q≠1时，Sn＝＝. 6．等比数列前n项和的性质 公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn. 知识拓展 等比数列{an}的单调性 (1)满足或时，{an}是递增数列． (2)满足或时，{an}是递减数列． (3)当时，{an}为常数列． (4)当q0时，{an}为摆动数列． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)满足an＋1＝qan(n∈N＋，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　×　) (2)G为a，b的等比中项?G2＝ab.(　×　) (3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　×　) (4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(　×　) (5)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　×　) (6)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　×　) 题组二　教材改编 2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝______. 答案　 解析　由题意知q3＝＝，∴q＝. 3．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 答案　27,81 解析　设该数列的公比为q，由题意知， 243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3. ∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81. 题组三　易错自纠 4．若1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值为________． 答案　－ 解析　∵1，a1，a2,4成等差数列， ∴3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1. 又∵1，b1，b2，b3,4成等比数列，设其公比为q， 则b＝1×4＝4，且b2＝1×q20，∴b2＝2， ∴＝＝－. 5．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝________. 答案　－11 解析　设等比数列{an}的公比为q， ∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0. ∴q3＋8＝0，∴q＝－2， ∴＝· ＝＝＝－11. 6．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB＝210 KB)． 答案　48 解析　由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an}，且a1＝2，q＝2，∴an＝2n， 则2n＝64×210＝216，∴n＝16. 即病毒共复制了16次． ∴所需时间为16×3＝48(分钟). 题型一　等比数列基本量的运算 1．(2018·开封质检)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于(　　) A．2 B．1 C. D. 答案　C 解析　由{an}为等比数列，得a3a5＝a， 又a3a5＝4(a4－1)，所以a＝4(a4－1)， 解得a4＝2.设等比数列{an}的公比为q， 则由a4＝a1q3，得2＝q3，解得q＝2， 所以a2＝a1q＝.故选C. 2．(2018届河北衡水中学二调)