2019届高考数学（北师大版文）复习讲义：第六章　数列+高考专题突破三+Word版含答案.doc

高考专题突破三　高考中的数列问题 【考点自测】 1．(2017·洛阳模拟)已知等差数列{an}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则等于(　　) A．2 B．3 C．5 D．7 答案　B 解析　∵在等差数列{an}中，a2，a4，a8成等比数列， ∴a＝a2a8，∴(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，∴d2＝a1d， ∵d≠0，∴d＝a1，∴＝＝3.故选B. 2．(2018·衡水调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. ∵a5＝5，S5＝15，∴∴ ∴an＝a1＋(n－1)d＝n. ∴＝＝－， ∴数列的前100项和为＋＋…＋＝1－＝. 3．若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案　D 解析　由题意知a＋b＝p，ab＝q，∵p＞0，q＞0，∴a＞0，b＞0.在a，b，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有：a，b，－2；b，a，－2；－2，a，b；－2，b，a；成等比数列的情况有：a，－2，b；b，－2，a. ∴或解得或 ∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9，故选D. 4．(2017·江西高安中学等九校联考)已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1·a6·a11＝3，b1＋b6＋b11＝7π，则tan 的值是(　　) A．1 B. C．－ D．－ 答案　D 解析　{an}是等比数列，{bn}是等差数列，且a1·a6·a11＝3，b1＋b6＋b11＝7π，∴a＝()3,3b6＝7π，∴a6＝，b6＝， ∴tan＝tan＝tan ＝tan＝tan＝－tan ＝－. 5．(2018·保定模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N＋都有Sn＝an－，若1Sk9 (k∈N＋)，则k的值为________． 答案　4 解析　由题意，Sn＝an－， 当n≥2时，Sn－1＝an－1－， 两式相减，得an＝an－an－1， ∴an＝－2an－1， 又a1＝－1， ∴{an}是以－1为首项，以－2为公比的等比数列， ∴an＝－(－2)n－1， ∴Sk＝， 由1Sk9，得4(－2)k28， 又k∈N＋，∴k＝4. 题型一　等差数列、等比数列的综合问题 例1 (2016·四川)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q0，n∈N＋. (1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式； (2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝2，求e＋e＋…＋e. 解　(1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，得Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得an＋2＝qan＋1，n≥1. 又由S2＝qS1＋1得a2＝qa1， 故an＋1＝qan对所有n≥1都成立． 所以数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列， 从而an＝qn－1. 由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3， 所以a3＝2a2，故q＝2. 所以an＝2n－1(n∈N＋)． (2)由(1)可知，an＝qn－1， 所以双曲线x2－＝1的离心率en＝＝. 由e2＝＝2，解得q＝， 所以e＋e＋…＋e ＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n－1)] ＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)] ＝n＋＝n＋(3n－1)． 思维升华等差数列、等比数列综合问题的解题策略 (1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序． (2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的． 跟踪训练1　(2018·沧州模拟)已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N＋)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设Tn＝Sn－(n∈N＋)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值． 解　(1)设等比数列{an}的公比为q， 因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列， 所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3， 于是q2＝＝. 又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－. 故等比数列{an}的通项公式为an＝×n－1 ＝(－1)n－1·. (2)