2019届高考数学大一轮复习 第六章 数列 6.2 等差数列及其前n项和学案 理 北师大版.doc

§6.2　等差数列及其前n项和 最新考纲 考情考向分析 1.理解等差数列的概念． 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式． 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题． 4.了解等差数列与一次函数的关系. 以考查等差数列的通项、前n项和及性质为主，等差数列的证明也是考查的热点．本节内容在高考中既可以以选择、填空的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查. 1．等差数列的定义 从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母 d 表示． 2．等差数列的通项公式 若首项是a1，公差是d，则这个等差数列的通项公式是an＝a1＋(n－1)d. 3．等差中项 如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项． 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d. (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列． (6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列． 5．等差数列的前n项和公式 设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d. 6．等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝n2＋n. 数列{an}是等差数列Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 7．等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，d0，则Sn存在最小值． 知识拓展 等差数列的四种判断方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数){an}是等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N＋){an}是等差数列． (3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数){an}是等差数列． (4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数){an}是等差数列． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　×　) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　√　) (3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　×　) (4)已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为－2.(　√　) (5)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　√　) (6)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．(　√　) 题组二　教材改编 2．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于(　　) A．31 B．32 C．33 D．34 答案　B 解析　由已知可得解得 ∴S8＝8a1＋d＝32. 3．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝ . 答案　180 解析　由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180. 题组三　易错自纠 4．一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是(　　) A．d B．d C.d D.d≤ 答案　D 解析　由题意可得即 所以d≤.故选D. 5．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a90，a7＋a100，则当n＝ 时，{an}的前n项和最大． 答案　8 解析　因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0，所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a9＜0.故当n＝8时，其前n项和最大． 6．一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降落9.80 m，那么经过 秒落到地面． 答案　20 解析　设物体经过t秒降落到地面． 物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列． 所以4.90t＋t(t－1)×9.80＝1 960， 即4.90t2＝1 960，解得t＝20. 题型一　等差数列基本量的运算 1．(2017·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的