核按钮2017高考数学一轮复习 第六章 数列 6.2 等差数列习题 理.doc

§6.2　等差数 1. 等差数列的定义一般地如果一个数列从第2项起每一项与它的前一项的等于同一个那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的通常用字母d表示即＝d(n∈N＋且n≥2)或＝d(n∈N＋)．2．等差中项三个数a成等差数列这时A叫做a与b的____________．等差数列的通项公式若{a是等差数列则其通项公式a＝_________.成等差数列＝pn＋q其中p＝_________＝_________点(n)是直线_________上一群孤立的点．单调性：d＞0时为_________数列；d＜0时为_________数列；＝0时为_________．等差数列的前n项和公式(1)等差数列前n项和公式S＝_________＝_________.其推导方法是_________．(2){an}成等差数列求S的最值：若a＞0＜0且满足时最大；若a＜0＞0且满足时最小；或利用二次函数求最值；或利用导数求最值．等差数列的判定方法(1)定义法：a＋1－a＝d(常数)(n∈N)?{an}是等差数列；(2)等差中项法：2an＋1＝a＋a＋2(n∈N)?{an}是等差数列；(3)通项公式法：a＝kn＋b(k是常数)(n∈N)?{an}是等差数列；(4)前n项和公式法：S＝An＋Bn(A是常数)(n∈N)?{an}是等差数列．等差数列的性质(1)am－a＝d，即d＝(2)在等差数列中若p＋q＝m＋n则有a＋a＝a＋；若2m＝p＋q则有am＝a＋a(p，q，m，n∈N*)．但要注意：在等差数列a＝kn＋b中若m＝p＋q易证得a＝＋成立的充要条件是b＝0故对一般等差数列而言若＝p＋q则a＝a＋a并不一定成立．3)若{a均为等差数列且公差分别为d则数列{pa＋q}也为数列且公差分别为(4)在等差数列中按序等距离取出若干项也构成一个等差数列即a＋m＋2m为等差数列公差为md.(5)等差数列的前n项和为S则S－S－S为等差数列公差为n(6)若等差数列的项数为2n则有偶－S奇＝nd＝自查自纠差　常数　公差　a－a－1　a＋1－a等差中项＋(n－1)d　①d　a－d　y＝dx＋(ad) ②单调递增　单调递减　常数列4．(1)　na＋　倒序相加法(2)≥0　≤0　≤0　≥0(1)(m－n)　(2)a　2(3)等差　pd　d　d ()在等差数列{a中若a＝4＝2则a＝(　　)－1 ．解：由等差数列的性质知a成等差数列所以a＋a2a4，所以a＝2a－a＝0.故选 已知等差数列{a中＝7＝15则其前10项的和为(　　)解：在等差数列{a中＝7＝15＝＝4＝a－d＝3＝10×3＋＝210.故选 ()设{a是等差数列下列结论中正确的是(　　)若a＋a则a＋a若a1＋a则a＋a若0a则a D．若a则(a－a)(a2－a)0 解：选项中当等差数列的前三项是4－2时结论不成立；选项中当等差数列的前三项是4－1－6时结论不成立；选项中设公差为d(d≠0)则a－d＝(a－)(a2＋)＝aa2，∴a2，结论成立；选项中公差为d(a2－a)(a2－a)＝d·(－d)＝－d故选 ()在等差数列{a中若aa4＋a＋a＋＝则a＋a＝________.解：∵{a是等差数列＋a＝a＋a＝a＋a＝2a＋a＋a＋a＋a＝5a＝25得a＝5＋a＝2a＝10.故填10. ()设S是数列{a的前n项和且＝－1＋1＝S＋1则S＝________.解：当n＝1时＝a＝－1＝－1.由已知得a＋1＝S＋1－S＝S＋1两边同时除以－S＋1得－＝－1数列是以－1为首项－1为公差的等差数列＝－1－(n－1)＝－n＝－故填－　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一　等差数列的判定与证明　设数列{a的前n项和为S若对于所有的正整数n都有S＝证明{a是等差数列．证明：当n≥2时由题设知＝S－S－1＝－＝[a＋na－(n－1)a－1]同理a＋1＝[a＋(n＋1)a＋1－na]．从而＋1－a＝[(n＋1)a＋1－2na＋(n－1)a－1]．整理得(n－1)a＋1＋(n－1)a－1＝2(n－1)a＋1＋a－1＝2a所以{a是等差数列．判定数列是等差数列的方法可参看本节“考点梳理”证明一个数列是等差数列只能用前两种方法做客观题时可用后两种方法判断．　已知数列{a的通项公式为a＝pn＋qn(p且p为常数)．(1)当p和q满足什么条件时数列{a是等差数列？(2)求证：对任意实数p和q数列{a＋1－a是等差数列．解(1)要使{a是等差数列则a＋1－a＝[p(n＋1)＋(n＋1)]－(pn＋qn)＝2pn＋p＋q应是一个与n无关的常数只有2p＝0即p＝0时数列{a是等差数列．(2)证明：∵a＋1－a＝2pn＋p＋q＋2－a＋1＝2p(n＋1)＋＋q又(a＋2－a＋1)－(a＋1－a)＝2p为一个常数数列{a＋1－a是等差