核按钮2017高考数学一轮复习 第六章 数列 6.4 数列求和及应用习题 理.doc

§6.4　数列求和及应用 1．数列求和方法(1)公式法：(Ⅰ)等差数列、等比数列n项和公式．(Ⅱ)常见数列的前n项和：＋2＋3＋…＋n＝；＋4＋6＋…＋2n＝；＋3＋5＋…＋(2n－1)＝；＋2＋3＋…＋n＝；＋2＋3＋…＋n＝(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(3)倒序相加：如等差数列前n项和公式的推导方法．(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．等比数列{a前n项和公式的推导方法就采用了错位相减法．(5)裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式相加消去中间项只剩有限项再求和．常见的裂项公式：＝－；＝； ＝；＝(－)；＝－；＝；！＝！－n！；＝S－S－1(n≥2)．数列应用题常见模型(1)单利公式利息按单利计算本金为a元每期利r，存期为x则本利和y＝. (2)复利公式利息按复利计算本金为a元每期利率为r存期为x则本利和y＝. (3)产值模型原来产值的基础数为N平均增长率为p对于时间x总产值y＝. (4)递推型递推型有a＋1＝f(a)与S＋1＝f(S)两类．(5)数列与其他知识综合主要有数列与不等式、数列与三角、数列与解析几何等．自查自纠(1)①　②n＋n　③n2　④(5)①　②　③　④　⑤－　⑦(n＋1)2．(1)a(1＋xr)　(2)a(1＋r)　(3)N(1＋p) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 设数列1(1＋2)(1＋2＋2＋…＋2－1)的前n项和为S则S等于(　　)－n＋1－n ．＋1－n－2解法一：特殊值法易知S＝1＝4只有选项适合．解法二：研究通项a＝1＋2＋2＋…＋2－1＝2－1＝(2－1)＋(2－1)＋…＋(2－1)＝(2＋2＋…＋2)－n＝2＋1－n－2.故选 ()若a是函数f(x)＝x－px＋q(p＞0＞0)的两个不同的零点且a－2这三个数可适当排序后成等差数列也可适当排序后成等比数列则p＋q的值等于(　　)解：由韦达定理得a＋b＝p＝q则a＞0＞0当a－2适当排序后成等比数列时－2必为等比中项有a·b＝＝＝；当a－2适当排序后成等差数列时－2必不是等差中项不妨设a是等差中项＝－2解得a＝1＝4；∴a＋＝＝5从而p＋q＝9.故选 已知等差数列{a的前n项和S满足S＝0＝－5则数列的前8项和为(　　)－－ D. 解：设数列{a的公差为d则S＝na＋由已知可得 解得的通项公式为a＝2－n.＝＝数列的前8项和为(－＋－＋＋－)＝－故选 黑白两种颜色的正六边形的面砖按如图所示的规律拼成若干个图案则第n个图案中有白色地面砖________块． 解：设第n个图案中白色地面砖有a块则a＝6＝10＝14易知a－a－1＝4(n≥2)是以6为首项为公差的等差数列＝6＋4(n－1)＝4n＋2.故填4n＋2. 3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n＋2)·2－n＝________.解：设S＝3×＋4×＋5×＋…＋(n＋2)×则＝3×＋4×＋5×＋…＋(n＋2)×两式相减得＝3×＋－＝3＋－＝3＋－＝4－故填4－ 类型一　基本求和问题　数列求和：(1)求数1，2，3，…，，…的前n项和S；(2)求和：1＋＋＋…＋；(3)设f(x)＝求：f＋f＋…＋f(1)＋(2)＋…＋(2 014)；(4)求和：S＝＋＋＋…＋解：(1)S＝＋＋＋…＋(n＋)＝(1＋2＋3＋…＋n)＋＝n(n＋1)＋＝n(n＋1)＋1－. (2)设数列的通项为a则a＝＝2＝a＋a＋…＋a＝2[＋＋…＋]＝2＝(3)∵f(x)＝(x)＋f＝1.令S＝f＋f＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋(2 014)，① 则S＝f(2 014)＋f(2 013)＋…＋f(1)＋f＋…＋＋()，② ①＋②得：2S＝1×4 027＝4 027所以S＝(4)(Ⅰ)当a＝1时＝1＋2＋…＋n＝(Ⅱ)当a≠1时＝＋＋＋…＋Sn＝＋＋…＋＋由①－②得＝＋＋＋…＋－＝－＝综上所述＝数列求和的常用方法有：公式法、分组求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等在选择方法前分析数列的通项公式的结构特征避免盲目套用、错用求和方法．运用等比数列求和公式时注意对公比是否等于1进行讨论．本例四道题分别主要使用了分组求和法、裂项相消法、倒序　求和：(1)求数列9的前n项和S；(2)求数列，，…的前n项和；(3)求＋＋＋…＋的值．解：(1)S＝9＋99＋999＋…＋＝(10－1)＋(10－1)＋(10－1)＋…＋(10－1)＝(10＋10＋10＋…＋10)－n＝－n＝－n.(2)an＝＝＝＋＋＋…＋＝＝(3)令Sn＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°，则Sn＝sin289°＋sin288°＋sin287°＋…＋sin21° ＝＋22°＋＋…＋与②两边分别相加得2S＝(＋)＋(＋)＋…＋(＋)＝8