2019届高考数学大一轮复习 第六章 数列 6.1 数列的概念与简单表示法学案 理 北师大版.doc

§6.1　数列的概念与简单表示法 最新考纲 考情考向分析 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)． 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 以考查Sn与an的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点．本节内容在高考中以选择、填空的形式进行考查，难度属于低档. 1．数列的定义 按照一定顺序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项． 2．数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 an＋1 an 其中n∈N＋ 递减数列 an＋1 an 常数列 an＋1＝an 3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和解析法． 4．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式． 知识拓展 1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an， 则an＝ 2．在数列{an}中，若an最大，则 若an最小，则 3．数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(　×　) (2)所有数列的第n项都能使用公式表达．(　×　) (3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(　√　) (4)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．(　×　) (5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(　×　) (6)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N＋，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　√　) 题组二　教材改编 2．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝， a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝. 3．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝ . 答案　5n－4 题组三　易错自纠 4．已知an＝n2＋λn，且对于任意的n∈N＋，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是 ． 答案　(－3，＋∞) 解析　因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N＋，都有an＋1an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)n2＋λn，整理， 得2n＋1＋λ0，即λ－(2n＋1)．(*) 因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ－3. 5．数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N＋)，则此数列最大项的值是 ． 答案　30 解析　an＝－n2＋11n＝－2＋， ∵n∈N＋，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值30. 6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝ . 答案　 解析　当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1， 故an＝ 题型一　由数列的前几项求数列的通项公式 1．数列0，，，，…的一个通项公式为(　　) A．an＝(n∈N＋) B．an＝(n∈N＋) C．an＝(n∈N＋) D．an＝(n∈N＋) 答案　C 解析　注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可． 2．数列－，，－，，…的一个通项公式an＝ . 答案　(－1)n 解析　这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n. 思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 (1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法． (2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N＋处理． (3)如果是选择题，可采用代入验证的方法． 题型二　由an与Sn的关系求通项公式 典例 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1(n∈N＋)，则其通项公式为 ． 答案　an＝ 解析　当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1] ＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式． 故数列的通项公式为an＝ (2)(