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第4章 函数的插值 刘东毅 天津大学理学院数学系 函数的插值 Our goals: 对一组离散的数据,研究如何建立逼近它的连续的数学模型: 插值多项式 分段插值多项式 样条插值多项式 讨论插值多项式P(x)的存在唯一性、收敛性及误差估计等。 Overview: 插值函数的基本概念 Lagrange插值公式及其余项 Newton插值公式及其余项 Hermite插值 分段插值 三次样条插值 §4.1 插值问题的基本概念 4.1.1插值法和插值函数 定义 4.1.1 设函数 y = f (x) 在区间[a , b]上有定义，且已知点 a≤ x0 x1 x2 … xn ≤ b 处的函数值 yk = f (xk) (k = 0,1,…,n )。 （4.1.2） 若存在简单函数P(x)∈Φ使得P(xk) = f (xk) = yk , 则称P(x) 为 f (x) 的插值函数，f (x) 称为被插值函数， xk称为插值节点，区间[a , b]称为插值区间， Φ称为插值函数类，求 P(x) 的方法称为插值法。 4.1.2 插值问题的几何解释 4.1.3 插值多项式的存在与惟一性 设Pn[x]为次数不超过n 的多项式空间。则在多项式（或代数）插值中，最常见的问题是求一个多项式 P ∈ Pn[x] 满足插值条件： P(xk) = f (xk) = yk (k = 0,1, …,n)， (4.1.1) 此时P(x) 的形式为 P(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + … + an xn (4.1.3) §4.2 Lagrange插值公式及其余项 首先讨论低次插值多项式，然后再推广到一般情况。 4.2.1 Lagrange 插值公式 利用直线的两点式公式, y = L1(x) 可表示为 经整理有 4.2.1 Lagrange 插值公式 显然L1(x) 满足插值条件 (4.2.1)，称之为线性插值公式。 4.2.1 Lagrange 插值公式 显然l0 (x) 与l1 (x)满足 4.2.1 Lagrange 插值公式 类似于 一次插值(4.2.3)，Ln(x)有如下的形式 Ln(x) = l0(x) f (x0) + l1(x) f (x1) + … +ln(x) f (xn) , 其中 l0 (x), l1(x), …, ln(x) 均为次数不超过 n 的多项式。为满足插值条件，lk(x)应满足 4.2.1 Lagrange 插值公式 再由lk(xk) = 1，得 1 = c (xk - x0)( xk - x1) ? ? ? ( xk - xk-1)( xk - xk+1) ? ? ? ( xk - xn)， 于是 4.2.1 Lagrange 插值公式 lk(x) (k = 0 , 1 , … , n) 称为节点x0 ,,x1,…,xn上的n次Lagrange插值基函数，Ln(x) 称为n次Lagrange 插值多项式。 为了后面的讨论，Lagrange插值公式可写成如下形式 插值基函数lk(x)的图形 Lagrange插值余项 例4.2.2 设函数 f (x) = sin x 的数据表如下： 利用线性和二次Lagrange插值公式求f (0.15)的近似值，并利用余项公式估计误差。 (2) 利用二次插值公式 再取x0=0.0，x1=0.1，x2=0.2为节点，插值点 x = 0.15，代入二次插值公式 绝对误差为 4.2 Lagrange 插值公式及其余项 说明： 近似值保留四位小数是由于题目中没有限定精度，而所给的数据最多有四位小数，为保证数值结果的精确性，计算结果保留了四位小数。而在误差估计中，若没有特殊要求，只需保留二至三位有效数字即可，关键是数量级（这里是10-4、 10-5 ）不能有错。 在作二次插值时没选0.1，0.2和0.3作为节点，主要因为在估计误差时cos x在区间[0.1, 0.3] 上的最大值不易计算且计算时会有误差。再者也由于f (0.0)为0，可少算一项。 在作插值时尽量用内插且选择与插值点接近的节点。内插与外插相比，一般来说前者的误差较小。 §4.3 Newton插值公式及其余项 Lagrange 插值基函数 lk (x) 是用插值节点 xk 确定的, 因此每增加一个插值节点，插值基函数的结构就要发生变化，以前的计算结果毫无用处。我们希望当增加插值节点时，以前的计算结果可以继续使用。 1.差商的定义及性质 定义4.3.1 称 f [x0] = f (x0) 为关于x0 的零阶差商。 分别为一阶差商函数和二阶差商函数。为了方便