固体物理课件-第五章.ppt

第五章 声子Ⅱ: 热学性质;本章是从量子角度讨论;晶体的比热实验规律;晶格振动比热;晶格比热的 经典理论:杜隆--珀替定律;§1. 点阵热容 C = dU/dT;任一格波对应于多个能量值(声子数)：;附：平均声子数 的推导过程;令：;根据色散关系：在动量空间（k空间中）作出色散图。 将所有具相同ω的k连接起来，则形成一个平面。该平面称为等能面，显然所有在等能面上的k具有相同的（平均）声子数。;如此，晶格振动的总能量 = 所有谐振子对内能的贡献：;据此可引入“模式密度”概念：;1. 简正模式密度D(ω)的定义;2.模式密度的计算方法;波矢密度;分 布 密 度 OR 波 矢 密 度;色 散 关 系 与 模 式 密 度;由梯度定义知:;若在某些点（或某些频率上）出现 vg=0的情况， 可能不会是发散的，但它的一阶导数是发散的，此时D(ω)将出现奇点，称为Van Hove奇点。;;例1：;例2：;假设ω~k关系是线性的，即：ω＝ck ;可见，色散关系对模式密度有直接性的影响。;(1)、德拜模型;附：若考虑同一振动模式(k、ω相同)的不同振动方向(纵波、横波)的影响，则：;函数图形如下，是一个抛物线性函数：; 这个结果表明，总的模式数有无限多，而与晶体中的模式数与总自由度相同的结果相矛盾。; 为了解决这个矛盾，德拜认为不是所有的频率的模式都存在，而存在着一个频率上限ωD ，称为德拜截止频率。超过ωD的振动模式是不存在的，而频率小于ωD的模式可用连续介质中的弹性波处理, ωD由总的3N个声子模式自由度决定：; kD是晶体中格波的最大波矢，以KD为半径在波矢空间画一个球，称为德拜球，球内应包含所有的简正模式，即 3N个模式，球外的短波振动在晶体中是不存在的，而球内的所有模式可用连续介质中的弹性波来处理，球内的模式数应为晶体中所有的模式数，即3N个。; 对一个三维点阵常数为a的立方点阵，第1BZ为一边长为2π/a 的立方体， 第1BZ中有N个K（N为晶体中的初基晶胞数），按德拜模型（即对晶体使用连续介质中的弹性波的色散关系），K值只能在德拜球中取值，但第1BZ中的声子模式数也是3N个，因此德拜模型实际上用一个球代替了第1BZ，也就是说本应在第1BZ中取的K值，而现在是??德拜球内取值，显然，德拜球的体积应等于第1BZ的体积，根据此模型，模式密度D(ω)～ω 关系应为：; 爱因斯坦对色散关系的假设：所有的简正模式都具有相同的频率，即ω=ωE，频率不是波矢的函数。这实际上对应于长光学支模式。;点 阵 热 容;若获得U，则由热能对温度在体积一定时求偏微商，可得定容热容; 1 爱因斯坦模型的热容;n 代表温度T时一个振动模式上的平均声子数：;1)、爱因斯坦模型的高温极限 (kBT? ?ωE或 T? hωE /kB ）： 爱因斯坦热容 Cv～3NKB，与实验结果符合 (杜隆——珀替定律);2 德拜模型的热容;由于?ω、 kBT均具有能量的量纲，可令?ω=kBTω;德拜温度表示固体热学性质主要参数。 一般在实验上不是通过θ求Cv，而是通过测出 Cv 求θ，因此若此模型正确的话,θ不应是温度的函数，但实际上由于德拜模型是近似模型，θ就是温度的函数。;回到之前的内能表达式;把上式 ?ν 用德拜温度代替，得：;1)、德拜模型的高温极限(T?θ，则x? 1），;若温度降低，当Tθ时，ω高的模式要冻结，而ω低的模式还处于激发状态，因此德拜温度ωD也可看做是所有模式都处于激发状态转到某些模式被冻结的温度。;; 低温下热容与温度的三次方成正比，这与实验结果相当一致，主要原因是它的基本假设是长声学波模型，在低温下只有频率较低的长波模式才是受热激发的，而频率高的短波模式都已冻结，在这些模式上布居的声子数很少，用线性色散关系去处理问题，恰好与实验结果吻合的好，任何晶体在低温下都可用德拜模型处理。; 下面用一个简单的物理模型说明规律的由来： 在波矢空间中以德拜波矢为半径画一个球; 当T?θ时, 在德拜球内受激发的模式有?ω≤KBT, 即声子能量小于KBT 的才受激发，若当热能与声子能量相等时的声子波矢为KT (=KBT/?v), 在波矢空间以KT为半径画一个球，此球内的模式是受激发的模式，在温度T下能受激发的模式份数等于两球体积之比（KT/KD）3这个比值实际上就是 （T/θ)3 。;那么低温下热容：; 从以上讲述中我们不难看到，固体物理中处理的是有大量粒子存在且粒子之间有强相互作用的体系，不可能精确求解，通常用一些简单的物理模型处理问题，简单模型包含了复杂问题的关键所在。因此在处理物理问题时要注意物理模型的选取，从这个意义上来说，固体物理的发展史也